矢次真也の数学コラム：錯視と数学～私たちの目が「騙される」理由と数学的原理

この記事のポイント

• 📊 錯視（目の錯覚）の背後には精密な数学的原理が隠されている
• 🧮 幾何学的錯視から動きの錯視まで、さまざまな数学モデルが応用されている
• 🔍 高齢者にとっても脳トレとなる錯視パズルの楽しみ方と、視覚認知の不思議

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「素数の不思議」についてお話ししましたが、今回は少し視点を変えて「錯視と数学」について考えてみたいと思います。

先日、孫が持ってきた雑誌に「目の錯覚」のページがあり、一緒に楽しんでいたときのこと。「おじいちゃん、どうして目は騙されるの？」という質問を受けました。彼の素朴な疑問に答えようとするうちに、錯視の背後には実に興味深い数学があることに気づいたのです。

錯視（目の錯覚）は単なる「見間違い」ではなく、私たちの脳と視覚システムの仕組みに深く関わっています。そしてその多くは、数学的な原理によって説明できるのです。今回は、私たちの目がどのように「騙される」のか、そしてその背後にある数学的原理について探っていきましょう。

第1章：錯視の基本と幾何学的錯視

錯視とは何か

錯視（optical illusion）とは、物理的な実態と私たちの視覚的な認識が一致しない現象のことです。

📌 私たちの目と脳は、外界からの情報を処理する際に様々な「ショートカット」や「推測」を行います。錯視はこれらの処理メカニズムの特性を示す窓となっているのです。

私がエンジニアとして長年働いてきた経験から言えば、これは一種の「視覚情報処理システム」のバグのようなものです。しかし、このような「バグ」があることで、私たちは通常の視覚処理を効率的に行えているとも言えます。完璧なシステムは存在せず、何らかのトレードオフは常に存在するのです。

ミュラー・リヤー錯視と直線の不思議

最も有名な錯視の一つに「ミュラー・リヤー錯視」があります。これは矢印の向きによって、同じ長さの線分が異なる長さに見える現象です。

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💡 この錯視は、私たちの脳が「奥行き」という3次元情報を2次元の網膜像から復元しようとする際の処理に関係していると考えられています。数学的には「射影変換」の問題と関連しています。

私は退職後、地元の高齢者センターで「楽しい数学教室」を開いていますが、このミュラー・リヤー錯視を使った実験は特に人気があります。参加者に実際に長さを測ってもらうと、「信じられない！」という驚きの声が上がります。65歳を超えた方々でも、この錯視効果は若い人と変わらず強く働くのです。

ツェルナー錯視と平行線

「ツェルナー錯視」は、平行な直線が短い線分によって交差されると、平行に見えなくなる現象です。

🔍 この錯視は、私たちの視覚系が「方向」を処理する神経機構の特性に関係しています。数学的には、線分の「傾き」の知覚に関する非線形性として説明できます。

私が特に興味深いと思うのは、この錯視が示す「局所と全体の関係性」です。エンジニアとして複雑なシステムを設計していた頃、局所的な最適化が必ずしも全体の最適化につながらないという課題にしばしば直面しました。錯視にも同様の原理が見られるのです。

第2章：フラクタルと無限の錯視

フラクタル図形と視覚的な無限

前々回のブログで「無限」について書きましたが、実は錯視にも「無限」と関わるものがあります。特にフラクタル図形に基づく錯視は、「視覚的な無限」を体験させてくれます。

✨ 「シェルピンスキーのカーペット」や「コッホの雪片」などのフラクタル図形を見つめると、無限に続く自己相似性によって視覚的な「めまい」のような感覚を覚えることがあります。

私は孫と一緒に簡単なフラクタル図形を紙に描く遊びをすることがあります。三角形の中に三角形を描き、さらにその中に…と繰り返していくと、次第に不思議な模様が浮かび上がります。「これが無限に続くと、どうなるの？」という孫の質問に、「長さが0なのに、面積がある図形になるんだよ」と答えると、彼は目を丸くします。数学の不思議さを伝える絶好の機会です。

ペンローズの不可能図形

「不可能図形」も興味深い錯視の一つです。数学者ロジャー・ペンローズが考案した「ペンローズの三角形」は、局所的には可能な形状なのに、全体としては物理的に不可能な構造を示しています。

🏛️ この錯視は、私たちの脳が3次元の空間構造を推測する際の「整合性のチェック」が完全ではないことを示しています。数学的には、局所的な整合性と大域的な整合性の問題として考えられます。

私は若い頃、M.C.エッシャーの作品に魅了されました。彼の「滝」や「上る下る」などの作品は、ペンローズの不可能図形を巧みに取り入れています。退職後、私はエッシャーの作品集を買い直し、その数学的構造を改めて楽しんでいます。年を重ねた今、若い頃とは異なる視点で、その精緻な数学的構造に感心しています。

第3章：動きと色の錯視

静止画なのに動いて見える錯視

静止した画像なのに動いて見える「動的錯視」は、特に興味深い現象です。

🌀 例えば、同心円状の模様に特定のパターンを配置すると、静止画なのに回転しているように見える錯視があります。これは私たちの脳における動き検出メカニズムの特性を示しています。

私は退職後、脳科学の入門書を読み始めましたが、視覚認知に関する研究は特に興味深いです。私たちの脳は、網膜上のパターンの微妙な変化を「動き」として解釈するのですが、この解釈プロセスは完璧ではなく、特定のパターンに対して「誤作動」を起こすのです。数学的には、これは動き検出のアルゴリズムにおける「エイリアシング」（折り返し現象）のようなものだと理解できます。

色の錯視と加法混色

色に関する錯視も数学的に興味深いものです。特に「同時色対比」という現象では、周囲の色によって、中心の色の見え方が変わります。

🎨 これは私たちの視覚系が「相対的」に色を処理することを示しています。数学的には、色空間における「コントラスト強調」の非線形処理として説明できます。

私がかつて勤めていた会社では、コンピュータグラフィックスの研究部門があり、色の知覚モデルについても学ぶ機会がありました。RGBという3次元の色空間で色を表現する方法は、人間の色覚の三色型色覚の特性を数学的にモデル化したものです。しかし実際の色の知覚は、この単純なモデルよりもはるかに複雑で、周囲の色や照明条件によって大きく変化します。

第4章：錯視の数学モデルと応用

錯視の数学的説明

現代の認知科学では、錯視を数学的にモデル化する試みが進んでいます。

💻 多くの錯視は、ウェーブレット変換やガボールフィルタなどの数学的ツールを使って説明されています。これらは私たちの視覚系の初期段階でのエッジ検出や方向選択性のメカニズムをモデル化したものです。

私がエンジニアとして画像処理システムの開発に関わっていた頃、同様の数学的ツールを使っていました。興味深いことに、コンピュータビジョンの分野では、「人間の視覚系のように見る」アルゴリズムを開発するために、逆に錯視を利用することがあります。人間の視覚系の「バグ」を再現することで、より自然な画像認識が可能になるのです。

錯視のデザイン応用と数学

錯視の原理は、芸術やデザインにも広く応用されています。

🎭 例えば、舞台装置のデザインでは、空間を実際より広く見せるためにアメスの部屋のような錯視が使われることがあります。また、グラフィックデザインでも、特定の要素を目立たせるために錯視の原理が活用されています。

私は退職後、地元の美術館のボランティアガイドもしています。特に抽象美術やオプアート（錯視芸術）を解説する際には、その背後にある数学的原理についても触れるようにしています。来場者の方々、特に若い学生たちは、芸術と数学が密接に関連していることを知ると、とても驚き、興味を示してくれます。

第5章：高齢者と錯視・脳のトレーニング

年齢による錯視の知覚変化

興味深いことに、一部の錯視の効果は年齢によって変化することが研究で示されています。

👴 例えば、エビングハウス錯視（同じ大きさの円が、周囲の円のサイズによって異なる大きさに見える現象）は、年齢によって効果の強さが変わることが知られています。

私自身、若い頃と比べて一部の錯視に対する感受性が変化したように感じることがあります。これは脳の処理メカニズムの変化を反映している可能性があります。視覚科学者によると、年齢とともに「文脈」からの影響が強くなる傾向があるそうです。長年の経験によって、脳が「過去の知識」に基づいた処理をより重視するようになるのかもしれません。

錯視を活用した脳トレーニング

錯視を理解し、楽しむことは、高齢者にとって良い脳のトレーニングになります。

🧠 錯視パズルに取り組むことで、視覚認知能力や空間認識能力を維持・向上させることができるという研究結果もあります。

私は定年後、シニア向けの脳トレーニング教室を地元のコミュニティセンターで開いていますが、そこでは錯視を活用したアクティビティを多く取り入れています。参加者の方々からは「頭を使うけど楽しい」という声をよく聞きます。数学やパズルというと敬遠されがちですが、錯視は視覚的に楽しめるため、数学が苦手な方でも抵抗なく取り組めるようです。

錯視と創造性

錯視を通じて「見方を変える」体験は、創造的思考の訓練にもなります。

💭 「一つの対象を異なる視点から見る」という経験は、問題解決や創造的思考の基本です。錯視はまさに「同じものでも見方によって異なって見える」ことを体験させてくれます。

65歳を超えた今、私は若い頃よりも「多角的に物事を見る」ことの重要性を痛感しています。長い人生経験から、一つの問題にも様々なアプローチがあることを学びました。錯視はそのような「視点の多様性」を視覚的に体験させてくれる絶好の教材だと思います。

まとめ：錯視が教えてくれる数学と認知の世界

錯視の世界を探索することで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

• 私たちの視覚認知システムには数学的な原理が埋め込まれている
• 「錯覚」は脳の処理の「欠陥」ではなく、効率的な情報処理の副産物
• 局所と全体、部分と全体の関係性という数学的テーマが錯視にも表れている
• 年齢を重ねても脳の可塑性を活かした認知機能の維持向上が可能

私は65歳という年齢になって、改めて「見ること」の不思議さと奥深さを感じています。私たちは普段、自分の目で見ているものが「現実そのもの」だと思いがちですが、実はそれは脳が構築した「現実の数学的モデル」なのです。錯視はそのモデルの特性を垣間見せてくれる窓だと言えるでしょう。

次回のブログでは、「確率と直感」について書いてみたいと思います。私たちの確率的直感がいかに数学的な現実と乖離しているか、そしてそれが日常生活にどのような影響を与えているかについて探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも身の回りの錯視に注目してみてください。何気ない日常の中に、数学的な不思議が隠れているかもしれません。

【矢次真也】