矢次真也の数学コラム：確率と直感～なぜ私たちは確率を誤解するのか

この記事のポイント

• 📊 人間の直感は確率の数学的現実と大きく乖離していることが多い
• 🧮 モンティ・ホール問題など、直感に反する確率現象の背後には明確な数学がある
• 🔍 高齢者の視点から見た確率的思考の重要性と、日常生活での応用

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「錯視と数学」について書きましたが、今回は「確率と直感」という、私たちの日常的な判断に大きく関わるテーマについて考えてみたいと思います。

先日、孫とサイコロゲームをしていたときのこと。「6が出たから、次も6が出やすいね」と彼が言ったので、「それは違うよ。サイコロは記憶がないから、前に何が出たかは関係ないんだ」と説明しました。彼は不思議そうな顔をしていましたが、これは彼だけでなく、大人になっても多くの人が持つ「確率の誤解」の一例なのです。

私たちは日常的に様々な確率的判断を行っていますが、その多くは数学的に正確ではありません。人間の直感は進化の過程で形成されてきましたが、それは必ずしも数学的な確率と一致するわけではないのです。今回は、私たちの確率的直感がどのように数学的現実と乖離しているのか、そしてそれが日常生活にどのような影響を与えているのかについて探っていきましょう。

第1章：確率の基本と直感の罠

確率とは何か

確率は「事象が起こる可能性」を数値化したものですが、その解釈には様々な立場があります。

📌 古典的な確率論では、「同様に確からしい事象の総数に対する、特定の事象の数の比率」として確率を定義します。一方、頻度主義的解釈では「無限回の試行における相対頻度の極限」として、ベイズ主義的解釈では「信念の度合い」として確率を捉えます。

私がエンジニアとして働いていた頃、製品の故障率や信頼性の計算に確率論を応用していました。そこで実感したのは、確率の数学的な定義と人間の直感的な理解の間にある大きなギャップです。特に「稀な事象」の確率を正しく把握することは、専門家でも難しいものです。

ギャンブラーの誤謬

「ギャンブラーの誤謬」は、確率に関する代表的な認知バイアスです。

🎲 例えば、ルーレットで10回連続して赤が出たとき、「次は黒が出やすい」と考えてしまうのがこの誤謬です。実際には、各回の結果は独立しており、次回も赤と黒の確率は変わりません。

私の学生時代の友人に熱心なパチンコファンがいましたが、彼は「長い間当たらなかった台は、そろそろ当たる」という信念を持っていました。このような思考パターンは非常に一般的ですが、数学的には誤りです。確率事象に「記憶」はなく、過去の結果は未来に影響しないのです（少なくとも公平なゲームにおいては）。

代表性ヒューリスティック

人間は「代表性」に基づいて確率を判断することがよくあります。

💡 例えば、「医者らしい人」「教師らしい人」といったステレオタイプに基づいて、ある人の職業を推測する場合、実際の統計的頻度よりも「らしさ」に引きずられた判断をしがちです。

心理学者のカーネマンとトゥヴェルスキーは、この「代表性ヒューリスティック」について多くの実験を行いました。私が特に興味深いと思うのは、人間が「少数の法則」を信じがちだという発見です。つまり、小さなサンプルでも母集団の特性を正確に反映すると考えてしまうのです。私自身も若い頃は「数回の経験から一般化する」という誤りをよく犯していました。年齢を重ねてようやく、小さなサンプルからの一般化の危険性を理解できるようになりました。

第2章：直感に反する確率パズル

モンティ・ホール問題

確率に関する最も有名なパズルの一つが「モンティ・ホール問題」です。

🚪 3つのドアがあり、1つのドアの後ろには車、他の2つのドアの後ろには山羊がいます。あなたが1つのドアを選んだ後、司会者（モンティ）は残りの2つのドアのうち、山羊がいるドアを開けます。ここであなたは、最初に選んだドアを変更するかどうかの選択を迫られます。変更した方が有利でしょうか？

驚くべきことに、答えは「変更した方が有利」です。変更すれば車を当てる確率は2/3になります。この結果は多くの人（私も含めて）の直感に反するものですが、数学的に厳密に証明できます。問題の鍵は、司会者が「山羊がいるドアを知っている」という情報を利用する点にあります。

私は退職後、地元のシニアクラブで「確率パズル」の勉強会を開いていますが、このモンティ・ホール問題は毎回白熱した議論を引き起こします。実際にトランプなどを使ってシミュレーションすると、理論通りの結果が得られることに多くの方が驚かれます。

誕生日のパラドックス

「誕生日のパラドックス」も、直感に反する確率現象の良い例です。

🎂 何人集まれば、少なくとも2人の誕生日が同じである確率が50%を超えるでしょうか？答えは驚くべきことに、わずか23人です。

この結果が多くの人の直感に反するのは、私たちが「自分と同じ誕生日の人がいる確率」を考えがちだからです。しかし実際の問題は「任意の2人が同じ誕生日である確率」を問うています。「組み合わせの数」が重要なのです。

私が会社員だった頃、部署の飲み会で「誕生日のパラドックス」を実験的に確かめることがありました。30人程度の部署でしたが、ほぼ毎回、誕生日が重なる人がいました。実際に経験すると、このパラドックスの不思議さがより実感できます。

シンプソンのパラドックス

データを集計する方法によって、結論が逆転することもあります。これが「シンプソンのパラドックス」です。

📊 例えば、2つの治療法AとBを比較する場合、重症患者群と軽症患者群のそれぞれでAの方が成功率が高いにもかかわらず、全体で見るとBの方が成功率が高くなる、ということが起こりえます。

私は退職前、医療機器の開発に関わる仕事をしていましたが、臨床データの解析でこのようなパラドックスに何度か出会いました。データを正しく解釈するためには、単に数字を眺めるだけでなく、背後にある構造を理解することが重要です。特に高齢者医療のデータ分析では、年齢層や基礎疾患の有無などで層別化して分析することが欠かせませんでした。

第3章：日常生活における確率的判断

天気予報と確率

日常生活で最もよく目にする確率情報の一つが「降水確率」です。

☔ 「降水確率60%」とは何を意味するのでしょうか？正確には「その地域内のどこかで、指定された時間内に観測可能な降水（0.1mm以上）がある確率」です。

私は退職後、趣味で小さな気象観測ステーションを庭に設置しています。日々の天気予報の降水確率と実際の降雨を記録していると、長期的には「60%の確率」の日のうち約60%で実際に雨が降ることがわかります。しかし短期的には大きなばらつきがあります。これは確率の本質を理解する上で重要な点です。確率は十分に多くの試行（長期的な観測）があって初めて意味を持つのです。

医療診断と確率

医療診断においても、確率的判断は非常に重要です。

🏥 例えば、ある検査の陽性反応が出たとき、実際に病気である確率（陽性的中率）は、病気の有病率、検査の感度、特異度などから計算する必要があります。

私は数年前に人間ドックで「要精密検査」の判定を受けた経験があります。最初は非常に不安になりましたが、担当医から「検査の陽性的中率は30%程度」という説明を受け、冷静になれました。実際、精密検査の結果は「異常なし」でした。医療情報を確率的に理解することで、不必要な不安を減らせることを実感しました。

投資判断と期待値

投資の世界では、「期待値」という確率的概念が重要です。

💰 期待値とは「各結果の価値×その結果の確率」の総和です。長期的には期待値が正の意思決定を続けることが、合理的な戦略となります。

私は退職後の資産運用について学ぶ中で、この「期待値」の考え方の重要性を認識しました。例えば、ある投資が「90%の確率で5%のリターン、10%の確率で40%の損失」をもたらすとすると、期待値は0.9×0.05 - 0.1×0.4 = 0.045 - 0.04 = 0.005（0.5%）となります。わずかに正の期待値ですが、一度の大きな損失のリスクもあります。このような確率計算は、リスク許容度と合わせて判断する必要があります。

第4章：確率と認知バイアス

利用可能性ヒューリスティック

私たちは、思い出しやすい事例に基づいて確率を判断する傾向があります。これを「利用可能性ヒューリスティック」と呼びます。

📰 例えば、飛行機事故は大きく報道されるため、多くの人が飛行機事故の確率を過大評価し、逆に交通事故の確率を過小評価する傾向があります。

私自身、若い頃は「派手に報道される事故」に対して過剰に警戒する一方、日常的なリスク（例えば、階段での転倒など）を軽視していました。65歳になった今、統計的に見て高齢者にとって本当にリスクの高い事象（浴室での事故など）に注意を払うよう心がけています。「ニュースになりやすさ」と「実際のリスク」は必ずしも比例しないという理解は、年齢を重ねる中で身についた知恵の一つです。

リスク認知の歪み

人間のリスク認知には多くの歪みがあります。

⚠️ 私たちは一般に、「自然」なリスクよりも「人工的」なリスクを過大評価し、「制御可能」なリスクよりも「制御不能」なリスクを恐れる傾向があります。

元エンジニアとして、私はリスク評価に関わる仕事も経験しました。そこで学んだのは、一般の人々と専門家の間にはリスク認知に大きな隔たりがあるということです。例えば、原子力発電所の事故リスクは、専門家の評価よりも一般には高く見積もられる傾向があります。一方、生活習慣病のリスクは過小評価されがちです。このギャップを埋めるためには、確率とリスクに関するリテラシーの向上が必要だと感じています。

過信バイアス

多くの人は自分の能力や判断を過大評価する「過信バイアス」を持っています。

🚗 例えば、大多数のドライバーは「自分は平均以上の運転技術を持っている」と考えていますが、これは統計的に不可能です。

私も含め、年齢を重ねた運転者は「長年の経験」を過信しがちです。しかし実際には、加齢に伴う反応速度の低下や視力の変化などがあります。私は65歳を機に、改めて自分の運転能力を客観的に評価するようにしました。確率的に見て、高齢ドライバーの事故リスクは上昇することを正しく認識し、必要に応じて運転時間や環境を制限するなどの対策を取ることが大切だと思います。

第5章：高齢者の視点からの確率的思考

長期的視点と確率

高齢になると、人生の有限性をより強く意識するようになります。これは確率的思考にも影響を与えます。

🧠 若い頃は「将来の可能性は無限にある」と感じがちですが、年齢を重ねると「残された時間はどれくらいか」という確率的な考慮が自然と増えてきます。

私は65歳になった今、「平均余命」という統計的概念をより身近に感じるようになりました。日本の65歳男性の平均余命は約20年です。もちろん個人差は大きいですが、この統計的事実を踏まえて、残りの人生をどう過ごすかを考えることは自然なことです。「確率的に見て、あと何回山に登れるか」「あと何回孫に会えるか」という計算をすることで、一日一日をより大切に感じられるようになりました。

リスクと報酬のバランス

年齢によって、リスクと報酬のバランスの最適点も変化します。

⚖️ 若い頃は時間的余裕があるため、高リスク・高リターンの選択も合理的である場合が多いですが、高齢になると時間的制約が増すため、より確実な選択が重要になることもあります。

私は退職金の運用について考える際、「期待値」だけでなく「リスクの時間的許容度」も考慮しました。例えば、理論的には長期的に高いリターンが期待できる投資でも、短期的に大きな変動がある場合、高齢者にとっては適切でないこともあります。こうした判断には確率的思考が欠かせません。

確率的思考と心の平穏

確率的思考を身につけることは、高齢期の心の平穏にも貢献します。

✨ 「100%」を求めるのではなく、確率的なリスクと上手に付き合う姿勢は、不確実性の高い世界での生活にとって重要です。

私が特に感じるのは、健康に関する不安との付き合い方です。体の小さな変化に過剰に反応するのではなく、統計的に見て「どの程度の確率で深刻な問題であるか」を冷静に判断できれば、不必要な心配を減らすことができます。もちろん、重大な兆候を見逃さないことも大切ですが、確率的視点を持つことでバランスのとれた判断が可能になると思います。

まとめ：確率的思考と豊かな人生

確率と直感の関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

• 人間の直感的な確率判断には様々なバイアスがあり、数学的な確率とは乖離していることが多い
• モンティ・ホール問題やシンプソンのパラドックスなど、直感に反する確率現象を理解することで、より正確な判断が可能になる
• 日常生活においても、天気予報の解釈や医療診断、投資判断など、確率的思考が重要な場面は多い
• 高齢期においては、限られた時間という制約の中で、確率的リスクと報酬のバランスを考慮した判断がより重要になる

私は65歳という年齢になって、改めて「確率的思考」の重要性を実感しています。若い頃は「白黒はっきりさせたい」という気持ちが強かったですが、年齢を重ねるにつれ、世の中の多くのことが「グレーゾーン」であり、確率で考えることの重要性を理解できるようになりました。

次回のブログでは、「数学と音楽」について書いてみたいと思います。一見異なる分野のように見える数学と音楽ですが、実は深い関係があります。その不思議な関係性について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常生活の中で「確率的思考」を意識してみてください。より冷静で合理的な判断ができるようになるかもしれません。

【矢次真也】