矢次真也の数学コラム：暗号と数学～秘密を守り解読する数学の力

この記事のポイント

• 📊 古代から現代まで、暗号技術の発展は数学の進歩と密接に関連してきた
• 🧮 現代の情報セキュリティは素数の性質など高度な数学理論に支えられている
• 🔍 デジタル時代の高齢者にとって、暗号と数学の基本を知ることは安全なオンライン生活の鍵となる

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「数学と音楽」について書きましたが、今回は「暗号と数学」という、私たちの日常生活を陰で支える重要なテーマについて考えてみたいと思います。

先日、10歳の孫が「秘密の暗号」を作って遊んでいるのを見かけました。アルファベットを数字に置き換えるという単純なものでしたが、彼は大いに楽しんでいました。「おじいちゃん、この暗号、解読できる？」という彼の挑戦に応じながら、私は人類の長い暗号の歴史と、そこで数学が果たしてきた重要な役割について考えさせられました。

実は暗号の歴史は、古代から現代に至るまで、数学の発展と深く結びついています。単純な文字の置き換えから始まり、現代の複雑な暗号システムに至るまで、「秘密を守る技術」と「秘密を解読する技術」の攻防は、数学の新たな発見を促してきたのです。

今回は、この「暗号と数学」の深い関係について探っていきましょう。インターネットバンキングやオンラインショッピングが日常となった現代、暗号技術の基本を理解することは、特に私たち高齢者にとって安全なデジタルライフを送るための重要な知識となるはずです。

第1章：古典暗号と初歩的な数学

シーザー暗号とその数学的仕組み

暗号の歴史は古代ローマ時代のシーザー暗号から始まったと言われています。

📌 シーザー暗号は、アルファベットを一定数ずらすという単純な方法です。例えば3文字ずらすなら、Aは D、Bは E、というように変換します。これは数学的には「mod 26」の加算操作と見なせます。

私が小学校教師をしている友人から聞いた話ですが、こうした単純な暗号を授業に取り入れると、子どもたちの数学への興味が格段に高まるそうです。実際、私も孫と一緒にシーザー暗号で遊んでみましたが、「暗号文を解読するのに、どうすれば効率的か」を考えることで、自然と論理的思考力が養われるように感じました。

換字式暗号と頻度分析

シーザー暗号の次に登場したのは、より複雑な「換字式暗号」です。

🔍 換字式暗号では、各文字をランダムに別の文字に置き換えます。これに対抗するために開発されたのが「頻度分析」という数学的手法です。英語ならEが最も頻出する文字であるといった言語の統計的特性を利用して解読します。

私が若い頃、探偵小説が好きで、特にシャーロック・ホームズの「踊る人形」という暗号解読の物語に魅了されました。そこで初めて「頻度分析」という概念に触れ、数学と言語学が交わる領域に興味を持ったのです。65歳になった今でも、新聞の暗号パズルを解くのが日課の一つですが、これも一種の「頻度分析」的思考を使っていると言えるでしょう。

エニグマと数学者たちの挑戦

第二次世界大戦中、ドイツ軍が使用した「エニグマ」という暗号機は、暗号史上最も有名な例の一つです。

🧮 エニグマ暗号の解読に成功したのは、アラン・チューリングを中心とする数学者たちでした。彼らは統計学と確率論を駆使し、当時としては高度なコンピューティング技術を開発して暗号を破りました。

私がコンピュータサイエンスに興味を持ったのは大学生の頃でしたが、チューリングの業績を知ったときは大きな衝撃を受けました。純粋数学が実際の戦争の行方を左右したという事実は、数学の力を改めて認識させるものでした。退職後、イギリスのブレッチリー・パーク（暗号解読の中心地だった場所）を訪れる機会がありましたが、そこで実物のエニグマを見たときは感慨深いものがありました。

第2章：現代暗号と高度な数学

公開鍵暗号と素数の不思議

1970年代には、暗号技術に革命をもたらす「公開鍵暗号」が発明されました。

✨ この画期的な方式は、「暗号化する鍵」と「復号する鍵」を分離することで、安全な鍵交換の問題を解決しました。その数学的基盤となったのが、素因数分解の難しさや離散対数問題といった数論の未解決問題です。

私が前回の記事で紹介した「素数」が、こうした現代暗号の基盤になっているというのは興味深い事実です。RSA暗号と呼ばれる公開鍵暗号方式は、「二つの大きな素数の積を求めるのは簡単だが、その積から元の素数を求めるのは極めて難しい」という性質を利用しています。こうした「一方向性関数」の概念は、それまでの暗号理論には存在しなかった革新的なアイデアでした。

楕円曲線暗号と代数幾何学

さらに高度な暗号技術として、「楕円曲線暗号」があります。

🔐 楕円曲線暗号は、y² = x³ + ax + b という形の方程式で表される曲線上の点の演算に基づいています。この方式は従来のRSA暗号よりも短い鍵長で同等の安全性を提供できるため、モバイル機器などで広く採用されています。

私はエンジニアとして働いていた最後の数年間、情報セキュリティに関連するプロジェクトに携わる機会がありました。そこで楕円曲線暗号について学んだのですが、かつて純粋数学の一分野と考えられていた楕円曲線論が、突如として実用技術の最前線に躍り出たことに驚かされました。学生時代に抽象代数学や代数幾何学を学んだことが、まさか定年間際の仕事に直接役立つとは思ってもみませんでした。

量子暗号と次世代の数学

暗号技術の未来として注目されているのが「量子暗号」です。

💫 量子暗号は、量子力学の原理（特に「観測が状態を変化させる」という性質）を利用した、理論上は絶対に解読不可能な暗号システムです。また一方で、量子コンピュータの発展は現在の暗号システムに脅威をもたらす可能性もあります。

私は退職後、最新の科学技術についての講座をオンラインで受講することがあります。量子コンピューティングの講座を受けたときは、正直なところその数学的基盤を完全に理解することはできませんでしたが、「古典的なコンピュータと根本的に異なる計算原理」という概念自体が非常に刺激的でした。暗号技術と数学の関係は、これからも新たな進化を続けるのでしょう。

第3章：暗号解読と数学的手法

確率論と統計学の応用

暗号解読（クリプトアナリシス）においては、確率論と統計学が強力なツールとなります。

📊 例えば「頻度分析」は基本的には統計的手法ですが、現代の暗号解読ではより高度な統計的モデルやベイズ推定などの手法が使われています。

前回の記事で「確率と直感」について書きましたが、暗号解読はまさに「確率的思考」が威力を発揮する分野です。私自身、若い頃から暗号パズルを解くのが好きでしたが、その解法のコツの一つは「最も起こりそうな可能性から試していく」ということでした。これは暗号解読の基本戦略と通じるものがあります。

パターン認識とAI

現代の暗号解読では、パターン認識技術や人工知能（AI）も活用されています。

🧠 機械学習アルゴリズムを用いて、暗号文の中に埋め込まれたパターンを検出し、解読の糸口を見つける手法は、従来の手法を大きく進化させています。

私は定年後、AIと機械学習についての入門講座を受講しました。その中で、画像認識や自然言語処理と同様の技術が暗号解読にも応用されていることを知り、技術の汎用性の高さに感銘を受けました。若い頃に学んだアルゴリズムの基礎が、今日のAI技術につながっているということを実感できるのは、長く生きてきた者の特権かもしれません。

量子コンピュータと暗号解読の未来

量子コンピュータの発展は、現在の暗号システムに大きな影響を与える可能性があります。

⚛️ ピーター・ショアのアルゴリズムに代表される量子アルゴリズムは、従来のコンピュータでは事実上不可能な素因数分解を現実的な時間で解くことができます。これはRSA暗号など、多くの現代暗号システムの安全性を根本から揺るがす可能性があります。

私は科学雑誌の愛読者ですが、量子コンピュータの進展については特に注目しています。「ポスト量子暗号」と呼ばれる、量子コンピュータでも解読が困難な新しい暗号方式の研究も進んでいます。暗号と解読の攻防は、これからも新たな数学的発見を生み出し続けるでしょう。

第4章：日常生活の中の暗号技術

インターネットセキュリティと暗号プロトコル

私たちが日常的に使用するインターネットサービスは、様々な暗号技術によって守られています。

🌐 ウェブサイトの「https」で始まるURLは、SSL/TLS暗号プロトコルを使用していることを示します。オンラインバンキングやショッピングサイトなどで、私たちの個人情報や金融情報を保護しているのです。

私は退職前の数年間、オンラインバンキングに慣れることに少し苦労しました。「本当に安全なのか」という不安がありましたが, 暗号技術の基本を学ぶことで安心して利用できるようになりました。今では孫に「https」マークの重要性を教えることもあります。特に私たち高齢者は、オンラインセキュリティについて基本的な知識を持つことが大切だと感じています。

パスワードの数学

パスワードの強度も、数学的に説明できます。

🔢 8文字のパスワードで大文字、小文字、数字、記号を使用可能な場合、考えられる組み合わせは約95^8（95の8乗）通りとなります。これは約6,600兆という膨大な数です。

私は地元のシニアクラブで「デジタルセーフティ」の勉強会を開いていますが、多くの方が「覚えやすいけれど推測されにくいパスワード」の作り方に悩んでいます。そこで私が紹介しているのは「パスフレーズ」の考え方です。例えば「私は1975年に結婚した」という文を元に「私は1975年に結婚した!」のようなパスワードを作ると、長くて複雑ですが覚えやすくなります。数学的に強固でありながら実用的なパスワード戦略を身につけることは、現代社会を生きる上での基本スキルだと思います。

ブロックチェーンと暗号通貨

近年注目されている技術に「ブロックチェーン」と「暗号通貨」があります。

💱 これらの技術の基盤には、ハッシュ関数や電子署名など、様々な暗号技術が使われています。特にビットコインに代表される暗号通貨は、複雑な数学的パズルを解くことで新しいコインが発行される「マイニング」という概念を導入しました。

私は暗号通貨自体には投資していませんが、その背後にある技術には大変興味を持っています。特に「ゼロ知識証明」という、情報を明かさずに情報を持っていることを証明できるという一見矛盾した概念は、数学の美しさと実用性を兼ね備えた素晴らしい例だと思います。退職後の趣味の一つとして、こうした新しい技術の数学的基盤について勉強するのは知的好奇心を満たしてくれます。

第5章：高齢者の視点から見る暗号と数学

デジタル時代のリテラシーとしての暗号理解

高齢者にとって、暗号技術の基本を理解することはデジタル社会を安全に生きるための重要なリテラシーとなります。

🧓 オンラインでの詐欺や個人情報の漏洩リスクは、特に高齢者にとって現実的な脅威です。暗号と数学の基本知識は、そうしたリスクから身を守る助けになります。

私の周りでも、フィッシングメールやニセのセキュリティ警告などの被害に遭った方がいます。「https」の意味や、「暗号化されていない通信」の危険性など、基本的な知識があれば防げたケースも少なくありません。65歳を超えた今、自分自身の安全を守るためにも、こうした知識を積極的に学び続けることの重要性を実感しています。

暗号パズルと脳トレーニング

暗号解読のパズルは、高齢者の認知機能維持にも役立つ知的な趣味となります。

🧩 暗号パズルを解くには、パターン認識、論理的思考、記憶力など、様々な認知機能を使う必要があります。これらは年齢とともに低下しがちな能力ですが、定期的な「脳トレ」で維持・向上させることができます。

私は毎朝、新聞の暗号パズルや数独に挑戦することを日課にしています。単なる時間つぶしではなく、脳の健康維持のための意識的な取り組みとして、こうしたパズルに取り組むことは、数学的思考力を鍛える良い機会だと思います。認知症予防にも効果があるとの研究もあり、楽しみながら健康を維持できる一石二鳥の活動です。

次世代への暗号と数学の橋渡し

高齢者の持つ経験と知識は、若い世代に数学と暗号の面白さを伝える貴重な資源となります。

👨‍👧‍👦 私たちが若い頃に体験した「手書きの暗号」から現代のデジタル暗号まで、その発展の歴史を伝えることで、技術の進化と数学の重要性を生き生きと伝えることができます。

私は孫に「おじいちゃんが子供の頃の秘密の暗号」を教えることから始めて、現代の暗号技術へと話を広げることがあります。彼は特にコンピュータゲームが好きなので、「ゲームアカウントを守るためのセキュリティ」という文脈で話すと、とても興味を持って聞いてくれます。このように、世代を超えて数学の面白さと実用性を伝えていくことも、私たち高齢者の役割の一つかもしれません。

まとめ：秘密を守り解く数学の力

暗号と数学の関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

• 古代の単純な置換暗号から現代の複雑な公開鍵暗号まで、暗号技術の発展は数学の進歩と密接に関連してきた
• 素数、楕円曲線、量子力学など、一見実用的でないと思われた純粋数学の知識が、現代のセキュリティ技術の基盤となっている
• 確率論、統計学、パターン認識などの数学的手法が、暗号解読の強力なツールとして活用されている
• 高齢者にとって、暗号と数学の基本知識は、デジタル社会を安全に生きるための重要なリテラシーとなる

私は65歳という年齢になって、改めて「数学の実用性」を実感しています。若い頃に学んだ抽象的な数学の概念が、今日のインターネットセキュリティを支えているという事実は、数学の持つ普遍的な価値を証明していると言えるでしょう。

次回のブログでは、「数学と美術」について書いてみたいと思います。遠近法から現代アートまで、視覚芸術の中に隠れた数学的原理について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常生活の中で「https」マークを見かけたり、パスワードを設定したりするとき、その背後にある数学の力を少し意識してみてください。私たちの安全なデジタルライフは、数学者たちの英知に支えられているのです。

【矢次真也】