矢次真也の数学コラム：全ての表面が地面に接する不思議な幾何学立体「オロイド」の魅力

この記事のポイント

• 📊 「オロイド」は転がると全ての表面が地面に接する珍しい幾何学的性質を持つ
• 🧮 2つの円を特殊な角度で組み合わせた単純な構造から生まれる複雑な挙動
• 🔍 実用性と美しさを兼ね備えた幾何学的造形の魅力

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。若い頃から幾何学的な形や物体に魅了され、特に「動きのある数学」に強い関心を持ってきました。

先日、孫が通う小学校の算数クラブでボランティアをしていた時のことです。子どもたちに「面白い形の物体」を見せようと、自宅にあった幾何学おもちゃのコレクションを持っていきました。その中の一つ「オロイド」を床に置いて転がしてみせると、子どもたちから「えっ、どうして？」という歓声が上がりました。

このオロイドという物体は、転がすと全ての表面が次々と地面に接触するという、直感に反する不思議な動きを見せるのです。今回は、この魅力的な幾何学立体について、その特徴と面白さをご紹介したいと思います。

第1章：オロイドとは何か

オロイドの基本構造

オロイド（Oloid）は、1929年にドイツの数学者兼彫刻家であるパウル・シャッツ（Paul Schatz）によって発見された幾何学的立体です。

📌 オロイドの基本構造は驚くほどシンプルで、同じ大きさの2つの円盤を互いに直交する位置（90度の角度）で配置し、円周同士が接するように組み合わせた形状です。

私が初めてオロイドの作り方を知ったとき、「こんな単純な構成から、あのような複雑な動きが生まれるのか」と驚きました。数学の美しさは、しばしばこのようなシンプルな構造から予想外の性質が生まれる点にあります。

「全表面が地面に接する」という特徴

オロイドの最も驚くべき特徴は、平らな面の上を転がすと、その表面全体が順番に地面と接触するという点です。

✨ 一般的な球や円柱などの立体は、転がる際に表面の一部分だけが地面に接触します。しかしオロイドは、転がりながら徐々にその全表面が地面を「なでる」ように動きます。

この性質を初めて目の当たりにしたとき、私は退職前に勤めていた製造会社での経験を思い出しました。機械部品の設計において、接触面の形状は非常に重要な要素でした。もし当時オロイドのような形状の可能性を知っていたら、どんな応用ができただろうかと考えると、今でもワクワクします。

第2章：数学的視点から見たオロイド

オロイドの幾何学的性質

オロイドは数学的にも非常に興味深い性質を持っています。

🔍 オロイドの軌跡は、数学的に言えば「円周の凸包（convex hull）」として表現できます。また、その表面積と体積の関係も特殊で、数学の観点から研究対象となっています。

私は定年後、地元の図書館で幾何学の勉強会を主催していますが、そこでオロイドを紹介すると、常に参加者から興味深い質問が飛び出します。「なぜ全ての表面が接触するのか」「他にもこのような性質を持つ立体はあるのか」など、一つの形が多くの数学的探究の扉を開いてくれるのです。

「転がり抵抗」から見たオロイド

オロイドの特徴的な動きは、「転がり抵抗」という観点からも興味深いものです。

💡 通常の球体は転がり抵抗が小さいため、エネルギー効率よく転がります。一方、オロイドは表面全体が地面と接触するため、より大きな抵抗を受けながら転がります。

これは私たち高齢者の歩行にも通じるものがあると感じます。若い頃は効率よく早く歩くことを重視していましたが、年を重ねるにつれて、「地面をしっかりと感じながら、安定して歩く」ことの大切さを実感するようになりました。オロイドの動きには、そんな「拙速より安全」という高齢者の知恵にも通じるものがあるように思います。

第3章：オロイドの魅力と応用

科学おもちゃとしてのオロイド

近年、オロイドは科学教育の現場や、デスクトップの癒しアイテムとして人気を集めています。

📌 アメリカのミネソタ州を拠点とする「マターコレクション」などの会社が、様々な素材で作られたオロイドを販売しており、手のひらサイズの小さなものから、展示用の大きなものまで様々なサイズが楽しめます。

私も数年前に木製のオロイドを購入し、書斎の机に置いています。考え事で行き詰まったときに手に取って転がしてみると、その不思議な動きに心が落ち着くと同時に、「物事は様々な角度から見ることが大切だ」という気づきを与えてくれるのです。

オロイドの応用可能性

オロイドの特徴的な動きは、単なる好奇心の対象を超えて、様々な分野での応用可能性を秘めています。

✨ 例えば、建築デザイン、機械工学（特に攪拌機や混合装置）、さらには芸術作品にまでオロイドの形状や動きのコンセプトが取り入れられています。

私の友人で退職後に木工を始めた方がいますが、彼はオロイドに魅せられ、様々な木材で精巧なオロイドを制作しています。それらを地元の工芸展に出品したところ、多くの人が手に取って不思議そうに眺め、「どうしてこんな動きをするの？」と質問したそうです。数学の魅力を広める一つの窓口になったようで嬉しく思いました。

第4章：自分でオロイドを作ってみる

簡単な手作りオロイドの方法

オロイドの魅力を実感するには、実際に手に取って転がしてみるのが一番です。市販のものを購入するのも良いですが、簡単な材料で自作することもできます。

💡 厚紙や薄い木板で2つの円盤を作り、それらを直交するように配置して組み合わせるだけで、簡易的なオロイドができあがります。

私は地元の高齢者センターで「楽しい数学工作」という講座を時々開いていますが、そこではオロイド作りが最も人気のある活動の一つです。70代、80代の方々でも簡単に作れて、完成したときの喜びと、それを転がしたときの驚きの表情は、年齢を超えた純粋な好奇心の現れだと感じます。

3Dプリンティングでのオロイド作成

最近では、3Dプリンターを使って精密なオロイドを作ることも可能になりました。

🔍 インターネット上には、オロイドの3Dモデルデータが公開されており、これを使って自分だけのオロイドを出力することができます。

私の息子は3Dプリンターを持っているので、先日孫のために小さなオロイドをいくつか作ってもらいました。プラスチック製、中空タイプ、重りを入れたタイプなど、様々なバリエーションを試すことで、同じ形でも重量や重心の違いによって動きがどう変わるかという「物理学的探究」にも発展させることができます。

まとめ：オロイドが教えてくれること

オロイドという不思議な幾何学立体を通じて、私たちは以下のようなことを学ぶことができます：

• シンプルな構造から複雑で予想外の性質が生まれることがある
• 物事は様々な角度から見ることで、新たな発見がある
• 数学は抽象的な概念だけでなく、触れて感じることのできる具体的な形としても存在する

私は65歳という年齢になって、改めて「遊びながら学ぶ」ことの大切さを実感しています。オロイドのような幾何学おもちゃは、子どもから高齢者まで、誰もが直感的に楽しめると同時に、深い数学的探究へと導いてくれる素晴らしい「橋渡し」になるのです。

次回のブログでは、オロイド以外にも「メビウスの輪」や「クラインボトル」など、不思議な性質を持つ幾何学的形状について紹介したいと思います。数学の美しさと不思議さを、一緒に探求していきましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも機会があれば、ぜひオロイドを手に取って、その不思議な動きを体験してみてください。きっと新たな発見があるはずです。

【矢次真也】