矢次真也の数学コラム：「無限」の不思議な世界～人類を魅了してきた果てしなさの数学

この記事のポイント

• 📊 古代から人間の想像力を掻き立ててきた「無限」は、哲学と数学が交差する概念
• 🧮 カントールの集合論により「無限にも大きさの違いがある」ことが証明された
• 🔍 日常に潜む無限概念と、高齢者の視点から見る「有限と無限」の哲学

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「0（ゼロ）」の歴史についてお話ししましたが、今回は「∞（無限）」という、ある意味でゼロと対極にある概念について考えてみたいと思います。

先日、孫と星空を眺めていたときのこと。「おじいちゃん、宇宙に終わりはあるの？」という質問に、私は少し言葉に詰まりました。「無限」という概念は、子どもから大人まで、そして古代から現代まで、人間の想像力を掻き立て続けてきたテーマなのです。

数学において「無限」は、単なる「とても大きいもの」ではなく、独自の性質と構造を持った対象として扱われます。直感に反する性質も多く、その不思議さは年齢を重ねた今でも私を魅了し続けています。今回は、この「無限」という概念の歴史と、その数学的・哲学的な側面について探っていきましょう。

第1章：古代から近代までの無限概念

古代ギリシャにおける無限との格闘

無限の概念は古代ギリシャの哲学者たちを悩ませました。特にゼノンのパラドックスは、無限分割の概念を用いて運動の不可能性を主張し、多くの思想家を困惑させました。

📌 例えば「アキレスと亀のパラドックス」では、どんなに速いアキレスでも、少しでも先に出発した亀に追いつけないという議論がなされました。なぜなら、アキレスが亀のいた地点に到達するたびに、亀はさらに前進しており、この過程が無限に続くからです。

私が高校生だった頃、このパラドックスを初めて聞いて夜も眠れないほど考え込んだことを覚えています。直感と論理が矛盾するこの問題は、無限の持つ不思議さを示す良い例です。現在では極限の概念を使って解決されていますが、当時の人々にとっては真の謎だったでしょう。

アリストテレスの「潜在的無限」と「現実的無限」

アリストテレスは無限を「潜在的無限」と「現実的無限」に区別しました。

💡 「潜在的無限」とは、例えば数列1, 2, 3, ...のように、いくらでも先に進むことができるが、決して完成しない過程としての無限です。一方、「現実的無限」は完成した全体としての無限を指します。

アリストテレスは「潜在的無限」は受け入れましたが、「現実的無限」は存在しないと考えました。この考え方は長い間、西洋思想における無限観の基礎となりました。実際、私が学生時代に教わった無限の概念も、基本的にはこの「潜在的無限」でした。無限大の記号「∞」も、「限りなく大きくなる」という過程を表すものとして導入されていました。

中世とルネサンスの無限観

中世の宗教思想においては、神の無限性という概念が重要でした。またルネサンス期には、宇宙の無限性についての議論が活発になりました。

🔍 特にジョルダーノ・ブルーノは宇宙の無限性を主張し、当時の宗教的ドグマに挑戦しました。彼はこの主張のために火刑に処されましたが、後の科学的宇宙観の先駆者となりました。

私は定年後、科学史の読書会に参加していますが、ブルーノの勇気には今でも胸を打たれます。「無限」という概念は、時に既存の思想体系を揺るがし、新たな世界観への扉を開くきっかけとなるのです。

第2章：数学における無限の革命

カントールと集合論の誕生

19世紀後半、ゲオルク・カントールによって無限に関する革命的な理論が展開されました。彼は集合論を創始し、無限集合の研究を通じて無限にも「大きさの違い」があることを証明したのです。

✨ カントールは自然数全体の集合と実数全体の集合を比較し、後者の方が「より大きな無限」であることを証明しました。これは「無限には異なる次元がある」という、それまでの常識を覆す発見でした。

私がカントールの対角線論法を初めて学んだのは大学1年生の頃でしたが、その美しさと深遠さに衝撃を受けたことを今でも鮮明に覚えています。65歳になった今でも、時々この証明を紙に書いて眺めることがあります。数学の本質的な美しさが凝縮された証明だと思います。

無限基数の階層

カントールは無限集合の大きさを表すために、「基数」という概念を導入しました。

📚 自然数の集合の基数は「アレフ・ゼロ（ℵ₀）」と呼ばれ、最小の無限基数です。実数の集合の基数は「連続体濃度」と呼ばれ、2^ℵ₀で表されます。カントールは、この2^ℵ₀がℵ₁（アレフ・ワン、次に大きい無限基数）に等しいと予想しました（連続体仮説）。

この連続体仮説は、後にゲーデルとコーエンによって「証明も反証もできない」ことが示されました。これは数学の基礎に関わる深遠な結果で、数学的真理の本質についても考えさせられます。私は退職後、公理的集合論についての読書会を主催していますが、参加者の多くがこの「証明も反証もできない命題の存在」という事実に驚きを隠せません。

無限と極限

微積分学における極限の概念も、無限との深い関わりを持っています。

🧮 例えば、1/2 + 1/4 + 1/8 + ... という無限級数は、無限に足し続けているにもかかわらず、その和は1に収束します。これは「無限の過程が有限の結果をもたらす」という、一見矛盾した現象です。

私がエンジニアとして働いていた頃、フーリエ級数を使った信号処理に携わりました。そこでは無限級数の収束性が実用的な問題に直結していました。理論上は無限項の和ですが、実際の計算では有限の項で近似する必要があります。この「理論的な無限」と「実用的な有限」の間のバランスを取ることは、エンジニアリングの本質的な課題の一つです。

第3章：無限にまつわるパラドックスと不思議

ヒルベルトのホテルパラドックス

無限の不思議さを示す思考実験として、「ヒルベルトのホテル」があります。

🏨 無限個の部屋がある満室のホテルに、新たな宿泊客が1人来ても、全員を収容できます。各客を1部屋ずつ移動させればよいのです。さらに驚くべきことに、無限人の新規客が来ても、全員を収容できます！

この思考実験を孫に説明したところ、「おじいちゃん、それはズルだよ！」と言われました。確かに有限の世界の直感では「満室なのに新たな客を入れられる」というのは矛盾に思えます。しかし無限の世界では、このような「ズル」が許されるのです。これこそが無限の持つ不思議な性質なのです。

無限と全体・部分の関係

通常、集合の真部分集合は元の集合より小さいはずです。しかし無限集合では、この常識が通用しません。

💡 例えば、自然数全体の集合と偶数全体の集合を考えると、後者は前者の真部分集合ですが、両者は同じ大きさ（基数）を持ちます。1→2, 2→4, 3→6, ... という対応付けができるからです。

この性質を初めて知ったとき、多くの人は違和感を覚えます。私も学生時代、この事実に困惑した記憶があります。しかし年齢を重ねた今、この「部分が全体と同じ大きさを持ちうる」という性質に、むしろ人生の知恵のようなものを感じます。人生の価値は必ずしも「量」ではなく、有限の時間の中にも無限の深みを見出せるという哲学的な示唆があるように思えるのです。

第4章：身近な無限と有限の哲学

日常に潜む無限

無限は抽象的な概念ですが、私たちの日常生活にも様々な形で関わっています。

🔍 例えば、鏡に映った鏡に映った鏡...という無限の反射や、フラクタル図形のような自己相似的な無限構造は、実際に目で見ることができる「無限」の一例です。

退職後、私は近所の小学校で「数学クラブ」のボランティア講師をしていますが、子どもたちに「身近な無限」を探す宿題を出すと、実に様々な答えが返ってきます。「空の星」「砂浜の砂粒」「時計の針の回転」など。子どもたちの柔軟な発想から、私自身も学ぶことが多いです。

有限な生の中の無限

65歳の私にとって、「有限」と「無限」の問題は数学を超えた哲学的な意味を持ちます。

🧠 人間の生は有限ですが、私たちの思考は無限の可能性を探求できます。有限の時間の中で無限を理解しようとする試みには、深い人間的な意義があるのではないでしょうか。

定年退職後、時間が有限だという感覚はより鮮明になりました。しかし同時に、学びや創造に終わりはないという実感も強くなりました。「無限」を理解しようとする数学的探求は、有限の存在である人間の、無限への憧れの表現なのかもしれません。

デジタル世界の「擬似無限」

現代のデジタル技術は、ある種の「擬似無限」を私たちに提供しています。

💻 インターネット上の情報量は実質的に無限と言えるほど膨大ですし、コンピュータゲームの中には「無限に続く」世界を謳うものもあります。

私は最近、孫にVRゴーグルを借りて仮想空間を体験させてもらいました。そこで感じたのは、テクノロジーが私たちに提供する「無限の錯覚」です。実際には有限のデータで構成されていますが、人間の認知能力の限界を超えるため、主観的には「無限」に感じられるのです。数学的な厳密さから言えば真の無限ではありませんが、人間の経験という観点では「実用的な無限」と言えるかもしれません。

まとめ：無限との対話を続ける

「無限」という概念の探究は、人類の知的冒険の中でも特に魅力的な旅と言えるでしょう：

• 古代から人間の想像力を掻き立て、哲学的・数学的思考を促してきた無限
• カントールによる革命的発見「無限にも大きさの違いがある」
• 日常生活の中にも見出せる無限の痕跡
• 有限な存在である人間が無限を理解しようとする哲学的意義

私は65歳という年齢になって、改めて「無限」という概念の豊かさと深さを実感しています。数学的な厳密性と哲学的な問いかけが交差するこのテーマは、年齢を重ねるほどに新たな意味を持って迫ってくるように感じます。

次回のブログでは、「素数の不思議」について書いてみたいと思います。無限に存在する素数の分布には、今なお解明されていない謎が潜んでいます。その魅力的な世界を一緒に探検していきましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常の中に潜む「無限」の痕跡に、少し注意を向けてみてはいかがでしょうか。きっと新たな発見があるはずです。

【矢次真也】