矢次真也の数学コラム：数学と経済～お金と暮らしを支える数理

📊 経済学は数学的モデルや統計手法を駆使して社会現象を分析する学問である

🧮 個人の家計管理から年金設計まで、日常の経済生活にも数学は不可欠である

🔍 高齢者にとって特に重要な資産運用や相続計画にも数学的思考が役立つ

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「数学と健康」について書きましたが、今回は「数学と経済」というテーマで、私たちの経済生活と数学の関係について考えてみたいと思います。

先日、退職金の運用について金融アドバイザーと相談する機会がありました。複利計算、インフレ率、リスクとリターンの関係など、様々な数学的概念が飛び交う中で、改めて感じたのは「経済と数学は切っても切れない関係にある」ということです。

実際、現代の経済学は高度に数学化されており、マクロ経済モデルから株価予測まで、様々な経済現象が数式で表現されています。しかしより身近なレベルでも、私たち一人ひとりの家計管理、ローン計算、資産運用、年金設計など、日常の経済生活における意思決定には数学的思考が欠かせません。

今回は、この「数学と経済」の深い関係について探っていきましょう。特に私たち高齢者にとって関心の高い老後の資金計画や資産運用を中心に、数学がどのように私たちの経済生活をサポートしてくれるかを見ていきたいと思います。

第1章：基本的な経済数学

複利の魔法

経済における最も基本的かつ重要な数学概念の一つが「複利」です。

元本に利息が加わり、その利息にもさらに利息がつくという複利の効果は、時間とともに驚くべき力を発揮します。数学的には、n年後の金額は「元本×(1+利率)^n」という指数関数で表されます。アインシュタインが「複利は人類最大の発明」と呼んだという逸話もあるほどです。

私が若い頃、30代の時に財形貯蓄を始めました。当時は毎月の積立額は大したことなかったのですが、30年以上続けた結果、退職時には予想以上の金額になっていました。複利の力を実感した瞬間です。今では孫にも「早くから少額でも貯蓄を始めることの大切さ」を教えています。具体例として「18歳から毎月1万円を年利3%で運用すると、60歳では約1,150万円になるけど、30歳から始めると約650万円。12年の違いで500万円も差がつくんだよ」と説明すると、彼も複利の驚異的な力を理解してくれたようです。

ローン計算の数学

住宅ローンや自動車ローンなどの返済計画も、数学的な計算に基づいています。

一般的な「元利均等返済」では、毎月の返済額は「元本×金利×(1+金利)^期間÷((1+金利)^期間-1)」という複雑な式で計算されます。これは返済期間中、毎月同じ金額を支払うための計算式です。

私は40代の頃、住宅ローンを組む際に自分でエクセルシートを作成し、様々な条件でシミュレーションしたことがあります。「金利が1%変わると月々の返済額にどれだけ影響するか」「繰り上げ返済をするとどれだけ総支払額が減るか」などを計算して最適な返済計画を立てました。この経験は、後に退職を控えた50代後半で住宅リフォームのローンを検討した際にも役立ちました。「残りの就労期間と退職金を考慮した上で、どの程度のローンなら安全か」を数学的に分析することで、無理のない計画を立てることができたのです。

インフレと購買力

経済を考える上で避けて通れないのがインフレ（物価上昇）の影響です。

n年後の実質的な価値は「現在の価値÷(1+インフレ率)^n」で計算できます。例えば年間インフレ率2%が20年続くと、1,000万円の価値は約670万円に目減りしてしまいます。

私が特に注意しているのは、老後の生活設計におけるインフレの影響です。「現在の生活水準を維持するために必要な金額」を考える際に、単純に「今の生活費×老後の年数」と計算するのではなく、インフレ率を考慮した計算が必要です。例えば、月20万円の生活費が必要な場合、30年後には月約36万円（2%のインフレ率を仮定）が必要になります。地元のシニア向け金融セミナーでこの話をすると、多くの方が「そこまで考えていなかった」と驚かれます。数学的な視点で将来を見通すことの重要性を感じる瞬間です。

第2章：投資と確率論

リスクとリターンの数学

投資の世界では、「リスク」と「リターン」は数学的に定量化されます。

リターン（収益率）の平均値が期待収益率、その変動の大きさ（標準偏差）がリスクを表します。現代ポートフォリオ理論では、これらの指標を用いて「効率的フロンティア」という最適な投資配分を求めます。

私は退職金の運用を始める際、この「リスクとリターンのトレードオフ」を深く考えました。エンジニア時代に培った数学的思考を活かし、「自分のリスク許容度はどの程度か」「必要最低限のリターンはいくらか」を考慮した上で、適切な資産配分を決定しました。全てを安全性の高い預金に置くのではなく、かといって高リスクの投資にも集中せず、分散投資によってリスクを抑えながら一定のリターンを目指す戦略です。この決断には「期待値」という確率論の概念が大いに役立ちました。長期的には、期待値に基づく冷静な判断が感情的な投資判断よりも良い結果をもたらすと信じています。

分散投資と相関係数

「卵は一つのカゴに盛るな」という格言に表される分散投資の効果も、数学的に説明できます。

異なる資産間の「相関係数」（-1から+1の値をとり、動きの類似性を示す）が低いほど、分散効果は高まります。ポートフォリオ全体のリスク（標準偏差）は、個別資産のリスクを単純に足し合わせたものよりも小さくなるのです。

私が退職金の運用ポートフォリオを組む際、金融アドバイザーから「国内株式、海外株式、債券、不動産など異なる資産クラスに分散することで、リスクを下げられる」という説明を受けました。それは直感的には理解できましたが、実際に相関係数の表を見せられたときに「なるほど、これは数学的に証明できることなのか」と納得しました。例えば、株式と債券は相関係数が低く（時に負の相関）、一方が下がるときに他方が上がる傾向があるため、両方に投資することでポートフォリオ全体の変動を抑えられるのです。こうした数学的裏付けのある投資原則は、特に長期運用を考える高齢者にとって心強い指針となります。

モンテカルロ・シミュレーションと老後資金

老後の資金計画を立てる際に役立つのが「モンテカルロ・シミュレーション」という確率的手法です。

この手法では、投資収益率やインフレ率などの変数に確率的な変動を与え、数千・数万回のシミュレーションを行うことで、「老後資金が枯渇する確率」などを推定します。これにより、単一のシナリオだけでなく、様々な可能性を考慮した計画が立てられます。

私は退職の数年前に金融機関が提供するこのシミュレーションツールを利用しました。「現在の資産と今後の積立予定額、予想される年金額、想定生活費」などを入力すると、「老後30年間で資金が不足する確率は約15%」という結果が出ました。この数字を見て「85%の確率で大丈夫」と安心するのではなく、「15%の確率で足りなくなる可能性がある」と捉え、追加の対策を考えるきっかけとなりました。この経験から、確率論に基づいた意思決定の重要性を実感しました。地元のシニアクラブで「老後資金の確率的計画法」について話したところ、「漠然とした不安が具体的な数字で見えるようになった」と多くの方から感想をいただきました。

第3章：年金数理と保険数学

年金の数理モデル

公的年金や企業年金は、「年金数理」という数学的基盤の上に成り立っています。

平均寿命、出生率、経済成長率などの統計データと予測に基づき、持続可能な制度設計がなされています。また、個人レベルでは「現在価値」という概念を用いて、将来受け取る年金の実質的な価値を計算できます。

私は60歳になった時点で、「繰り上げ受給」と「満額受給」のどちらが得かを数学的に分析しました。単純に受給総額を比較するだけでなく、「現在価値」の概念を用いて「今もらえるお金の価値」と「将来もらえるお金の価値」を適切に比較することが重要です。また、平均余命以上に長生きするリスク（長寿リスク）も考慮しました。結果として私の場合は満額受給を選択しましたが、この判断は個人の状況（健康状態、家族歴、他の収入源の有無など）によって異なるものです。数学的分析は万人に当てはまる「正解」を出すわけではありませんが、自分の状況に合った合理的な判断をする上で強力な助けになります。

保険と確率論

生命保険や医療保険などの保険商品も、確率論に基づいて設計されています。

保険料の計算には、死亡率や疾病罹患率などの統計データと、将来のリスクを現在の価値に換算する数学的手法が用いられます。保険会社は「大数の法則」によって、大勢の加入者全体でリスクを平均化しています。

私は50代後半に、退職後の保険プランを見直す際に「本当に必要な保障は何か」を数理的に考えました。勤務時代には会社の団体保険に入っていましたが、退職後は自分で選ぶ必要があります。退職金や年金、貯蓄などの資産状況、住宅ローンなどの負債状況、扶養家族の有無などを考慮した上で、「万一の場合に家族に残すべき金額」を計算し、それに基づいて必要な保障額を決定しました。その結果、退職前よりも保険料を大幅に削減することができました。この経験から、保険は「感情的に不安を解消するもの」ではなく「数学的に必要な保障を得るもの」だということを実感しました。

遺産相続と税金の最適化

高齢者にとっては、遺産相続に関する計画も重要なテーマです。これも数学的最適化問題と捉えることができます。

相続税の計算は複雑ですが、基礎控除や配偶者控除、各種特例などを組み合わせることで、合法的に税負担を軽減する方法があります。また、生前贈与を計画的に行うことも一つの戦略です。

私は数年前に両親の相続を経験し、その複雑さを痛感しました。その経験を活かし、今度は自分が子どもたちに迷惑をかけないよう、相続対策を始めています。特に注目しているのは「生前贈与」の活用です。年間110万円までの贈与は非課税という制度を利用して、計画的に資産を移転することができます。例えば、30年間毎年110万円ずつ贈与すると、総額3,300万円を非課税で渡せることになります。これは単純な足し算ですが、相続税の累進課税率（最高55%）を考えると大きな違いになります。こうした「税制と数学の融合」も、経済生活における重要な数学的視点だと感じています。

第4章：日常の家計管理と数学

家計簿と統計分析

日々の家計管理にも、数学的な視点は役立ちます。

家計簿をつけることで収支のパターンを把握できますが、さらに統計的な分析を加えることで、より効果的な家計改善が可能になります。例えば、月ごとの変動の大きさ（標準偏差）を計算すれば、予想外の出費が多い費目を特定できます。

私は退職後、収入が年金中心になったことで、より計画的な家計管理が必要になりました。そこで妻と一緒に家計簿アプリを使い始めたのですが、単に記録するだけでなく、月ごとの変動を分析することで「予備費としていくら確保すべきか」を計算しています。例えば、光熱費は季節によって大きく変動するため、年間平均値と標準偏差を算出し、「平均+2σ（標準偏差）」を上限として予算を立てています。こうした統計的アプローチのおかげで、予期せぬ出費に慌てることなく、安定した家計運営ができるようになりました。地元のシニア向け講座でこの方法を紹介したところ、「数学的アプローチで家計が見えやすくなった」と好評でした。

レシート計算と割引の数学

スーパーでの買い物時の割引計算や、お得なセール品の見極めにも数学は欠かせません。

「2個で30%オフ」と「2個目半額」はどちらがお得か、「100g当たりの単価」はどう計算するか、など日常の買い物でも数学的思考が活躍します。

私は退職後、時間に余裕ができたこともあり、よりコスト意識を持って買い物をするようになりました。特に注目しているのは「単位あたりのコスト」です。例えば、洗剤やシャンプーなどの日用品は、容量の異なる商品を「100ml当たりの価格」で比較します。一見安く見える小容量商品が、単位あたりでは割高なことが多いのです。また、特売品やポイントアップデーを利用した計画的な買い物も心がけています。「20%ポイント還元日に年間使用量をまとめ買いする」といった戦略は、年間で見ると大きな節約になります。こうした「日常の数学」は、限られた年金収入で賢く生活するための知恵となっています。

固定費と変動費のバランス

高齢期の家計管理では、固定費と変動費のバランスが特に重要です。

住居費、保険料、通信費などの固定費が収入に占める割合が高すぎると、経済的な柔軟性が失われ、突発的な出費に対応しづらくなります。一般的には、固定費の割合を50%以下に抑えることが推奨されています。

私は退職を機に、家計の固定費を見直しました。特に注目したのは「本当に必要な契約か」という点です。複数の保険契約、使用頻度の低い会員サービス、不必要に高い通信プランなど、これまで惰性で続けていたものを洗い出し、整理しました。その結果、月の固定費を約2万円削減することができました。一見小さな金額ですが、年間24万円、10年で240万円の違いになります。この「小さな数字の積み重ね」の重要性も、数学的思考があればこそ実感できると思います。多くの退職者が「収入は減ったが、固定費はそのまま」という状況に陥りがちですが、数学的に家計を見直すことで大きな改善が可能なのです。

まとめ：数学的思考で経済的自立を守る

数学と経済の関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

- 複利、インフレ、リスクとリターンなど、経済の基本概念は数学的に表現できる

- 投資判断や年金計画には、確率論や現在価値計算などの数学的手法が欠かせない

- 日常の家計管理も、統計的分析や単位コスト計算などの数学的アプローチで改善できる

私は65歳という年齢になって、改めて「数学と経済」という二つの分野の深い結びつきを感じています。若い頃に学んだ数学が、高齢期の経済的自立を守るための強力なツールとなっているのです。

次回のブログでは、「数学と旅行」について書いてみたいと思います。旅行計画の最適化や地図の読み方など、旅の楽しみを広げる数学的視点について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常の経済生活に数学的視点を取り入れてみてください。データを分析し、長期的視点で考え、感情ではなく数字に基づいて判断することで、より賢明な経済的選択ができるようになるでしょう。特に私たち高齢者にとって、限られた資産を計画的に活用していくことは、自立した豊かな老後を送るための重要な鍵なのです。

【矢次真也】