矢次真也の数学コラム：数学とパズル～遊びながら磨く論理的思考力

📊 数学パズルは娯楽の中に秘められた深い数学的原理を体験する窓口である

🧮 論理パズル、図形パズル、数字パズルなど様々な種類があり、それぞれ異なる数学分野と関連している

🔍 高齢者がパズルを解くことは認知機能維持に効果的であり、脳の若さを保つ秘訣である

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「数学とゲーム」について書きましたが、今回はそれに関連する「数学とパズル」というテーマについて考えてみたいと思います。

先日、孫が小学校から持ち帰った「頭の体操」というプリントを見せてくれました。そこには「タングラム」という7つのピースを使って様々な形を作るパズルが載っていました。「おじいちゃん、これ難しいよ！」という彼に、一緒に考えながら形を完成させていくうちに、ふと気づきました。これは単なる遊びではなく、幾何学的思考力を養う優れた教材でもあるのです。

実は、パズルと数学は切っても切れない関係にあります。論理パズル、図形パズル、数字パズル、言葉パズル、立体パズル…様々な種類のパズルのほとんどすべてが、何らかの数学的原理に基づいています。そして、それらを解く過程で、私たちは楽しみながら数学的思考力を鍛えているのです。

今回は、この「数学とパズル」の深い関係について探っていきましょう。遊びの中に秘められた数学の奥深さを知ることで、日常のパズルをより楽しむヒントが見つかるかもしれません。また、特に私たち高齢者にとって、パズルが脳の健康維持にいかに役立つかについても考えてみたいと思います。

第1章：数字パズルと数論

ナンプレと制約充足問題

数独（ナンプレ）は今や世界中で愛されるパズルですが、その背後には深い数学があります。

ナンプレは「制約充足問題」と呼ばれる数学的問題の一種です。「各行、各列、各3×3ブロックに1から9までの数字が一度ずつ現れる」という制約条件を満たす解を見つける問題で、組合せ論的な性質を持っています。最小限のヒント数（現在の研究では17個）から一意の解を導けるかという問題も、数学者の研究対象です。

私は毎朝、新聞のナンプレに挑戦することを日課にしていますが、難しいパズルに出会うと、つい数学者の視点で「この問題の対称性は？」「この解法はアルゴリズム化できるだろうか？」などと考えてしまいます。退職前はエンジニアとして問題解決が仕事でしたが、今ではパズルを通じて脳に適度な刺激を与えることが、認知機能維持にも役立っていると感じています。

魔方陣と数論の魅力

魔方陣は、各行・各列・各対角線の和が同じになるように数字を配置するパズルです。

魔方陣は単純なルールながら深い数学的性質を持っており、古代中国から研究されてきました。特に奇数次の魔方陣を作る「ラ・ルーの方法」は美しいアルゴリズムとして知られています。これは群論や線形代数とも関連する興味深い研究対象です。

私が数学教師をしている友人から聞いた話ですが、彼は中学校の数学クラブで魔方陣作りを教えているそうです。生徒たちは最初、単なるパズルとして取り組み始めますが、規則性を発見していくうちに数学的な思考が自然と身についていくとのこと。私自身も退職後、地元のシニアクラブで「数学パズル教室」を開いていますが、魔方陣は特に人気のあるテーマです。70代、80代の方々も熱心に取り組まれ、「頭の体操になる」と喜んでくださいます。

第2章：図形パズルと幾何学

タングラムと平面幾何

冒頭で触れたタングラムは、中国発祥の古典的な図形パズルです。

正方形を7つのピース（5つの三角形、1つの正方形、1つの平行四辺形）に分割し、それらを組み合わせて様々な形を作ります。これは面積保存、相似変換、合同などの幾何学的概念を直感的に理解するのに役立ちます。

私は孫とタングラムで遊ぶうちに、「この7つのピースで作れる凸多角形は何種類あるか」という数学的問題に興味を持ちました。調べてみると、この問題は数学者によって研究され、答えは13種類だと証明されていることがわかりました。子供の遊びとしてのパズルが、実は厳密な数学的分析の対象になっているという事実に、数学の広がりを感じます。近所の高齢者センターでもタングラム教室を開きましたが、特に認知症予防に関心のある方々から「頭と手を同時に使うのが良い」と好評です。

折り紙と数理折り紙学

日本の伝統的な遊びである折り紙も、実は深い数学と結びついています。

特に「ユニット折り紙」と呼ばれる、同じ形の紙片を組み合わせて立体を作る手法は、多面体理論と関連しています。また、一枚の紙から複雑な形を折る技術は、計算幾何学や微分幾何学の研究対象となっています。

私は退職後、折り紙の研究会に参加するようになりました。そこで「数理折り紙」という分野があることを知り、驚きと同時に深い興味を覚えました。例えば「与えられた任意の角を三等分する折り方」や「立方体の体積を二倍にする折り方」など、古代ギリシャの三大作図問題が折り紙で解けることを学びました。コンパスと定規では不可能なことが、紙を折るという単純な操作で可能になるという事実は、数学の奥深さを教えてくれます。シニアの折り紙サークルでこうした話をすると、「ただの手芸だと思っていたけど、こんなに深いものだったのね」と皆さん驚かれます。

第3章：論理パズルと数理論理学

推理パズルとブール代数

「AさんかBさんのどちらかが嘘をついている」というような推理パズルは、ブール代数や命題論理学と関連しています。

これらのパズルを解くプロセスは、論理式の真偽値を決定する過程と同じです。「かつ」「または」「ならば」「ではない」といった論理接続詞を用いた命題の真偽を判断する能力は、批判的思考力の基礎となります。

私は若い頃から推理小説が好きで、特にエラリー・クイーンやエラリィ・クイーンの論理トリックに魅了されてきました。今思えば、それらを楽しむ過程で論理的思考力が鍛えられていたのでしょう。退職後、その経験を活かして地元の図書館で「ミステリーと論理学」という読書会を始めました。参加者はほとんどが60代以上のシニアですが、複雑な論理パズルを解くのに熱中する姿はとても生き生きとしています。「年を取るほど、こういう頭の体操が大切」というのが共通認識になっています。

数学パズルと不可能性の証明

「ケーニヒスベルクの橋渡り問題」や「ナイトツアー」など、数学の歴史に残る有名なパズルの多くは、「可能か不可能か」を証明することが鍵となっています。

これらのパズルを解く（または「解けない」ことを示す）プロセスは、数学的証明の本質を体現しています。特に「帰納法」「背理法」「対称性の利用」などの手法は、多くのパズル解決の鍵となります。

私は学生時代、「ハノイの塔」というパズルに夢中になりました。n枚の円盤を最小手数で移動させる問題ですが、最適解が2^n-1手になるという美しい結果に感動したことを覚えています。また、「15パズル」の偶奇性による可解性の証明も印象的でした。不可能を証明するという数学の力に魅了され、その後の工学的キャリアでも「何が可能で何が不可能か」を見極める力が役立ちました。今では孫に「できるかできないか、それを考えるのが数学だよ」と教えています。

第4章：高齢者の脳トレとしてのパズル

認知機能維持とパズル療法

近年の研究によれば、定期的なパズル解きは高齢者の認知機能維持に効果があるとされています。

特に、複雑な思考を要するパズルは、記憶力、注意力、実行機能、視空間認識能力などの認知機能を刺激します。これらは加齢とともに低下しがちな能力ですが、「使えば衰えない」という原則が適用されます。

私自身、65歳を過ぎた今、意識的に様々なパズルに取り組むようにしています。特に朝の時間に20〜30分ほど、ナンプレや暗号解読パズルなどに挑戦することで、一日の頭の回転が違うように感じます。地元の認知症予防教室でボランティアをしていますが、そこでも数学パズルを取り入れたプログラムが人気です。参加者の方々からは「パズルを解いた後は頭がすっきりする」「日常生活でも物事を順序立てて考えられるようになった」といった声をよく聞きます。

シニア世代に最適なパズルの選び方

高齢者がパズルを楽しむ際には、適切な難易度と種類を選ぶことが重要です。

難しすぎるパズルは挫折感を与え、簡単すぎるパズルは脳への刺激が不十分です。また、視力や手先の器用さなど、身体的な制約に合わせた選択も必要です。一般に、徐々に難易度が上がっていくパズルブックや、難易度設定ができるデジタルパズルが適しています。

私はシニアクラブでパズル講座を開いていますが、そこでは参加者の好みや能力に合わせて様々なパズルを紹介しています。数字が得意な方には数独やクロスサム、言葉が得意な方にはクロスワードや暗号解読、視覚的思考が得意な方にはジグソーパズルや立体パズルといった具合です。大切なのは「楽しみながら続けられる」ことだと思います。競争ではなく、自分のペースで少しずつ難しいものに挑戦していく姿勢が、認知機能の維持向上には効果的です。

まとめ：パズルで磨く数学的思考力

数学とパズルの関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

- パズルは複雑な数学的概念を、遊びの形で体験できる素晴らしい入り口である

- 様々な種類のパズルはそれぞれ異なる数学分野と関連しており、多角的な思考力を養ってくれる

- 高齢者がパズルに取り組むことは認知機能の維持向上に効果的であり、楽しみながら脳の健康を保つ方法である

私は65歳という年齢になって、改めて「パズルと数学」という二つの世界の深い結びつきを感じています。若い頃は単に「頭の体操」として楽しんでいたパズルが、実は深い数学的原理に基づいていたことを知り、その奥深さに魅了されています。

次回のブログでは、「数学と自然」について書いてみたいと思います。私たちを取り巻く自然界に見られる数学的パターンや法則性について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常の中でパズルを楽しみながら、数学的思考力を磨いてみてはいかがでしょうか。年齢に関係なく、新しい挑戦は脳を活性化し、人生をより豊かにしてくれるはずです。

【矢次真也】