矢次真也の数学コラム：数学と健康～私たちの命と暮らしを支える数理

📊 現代医療は数学的モデルやアルゴリズムによって大きく進化している

🧮 健康管理においても統計学や確率論は日常的に活用されている

🔍 高齢者にとって特に重要な健康寿命の延伸にも数学的思考が役立つ

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「数学と自然」について書きましたが、今回は「数学と健康」というテーマで、私たちの心身の健康と数学の関係について考えてみたいと思います。

先日、定期健康診断の結果を受け取ったときのこと。検査値の一覧表を見ながら、「基準値」との比較や様々な数値の意味について医師から説明を受けていると、ふと気づきました。健康管理とは、ある意味で「身体という複雑なシステムの数学的モデリング」なのかもしれないと。

実際、現代の医療や健康科学は、数学的な考え方や手法に大きく支えられています。血圧や血糖値の測定から始まり、MRIの画像解析、新薬の開発、感染症の流行予測に至るまで、医療と健康に関わるあらゆる場面で数学が活用されているのです。

今回は、この「数学と健康」の深い関係について探っていきましょう。特に私たち高齢者にとって身近な健康管理の話題を中心に、数学がどのように私たちの命と暮らしを支えているのかを見ていきたいと思います。

第1章：医療診断と数学

検査値の統計学

健康診断の結果表に記載される「基準値」は、統計学に基づいて設定されています。

一般に、健康な人々のデータを集め、その分布から標準偏差を使って「正常範囲」が決められます。例えば、平均値から標準偏差の2倍の範囲内（全体の約95%をカバー）を基準値とすることが多いのです。

私は毎年の健康診断を受ける際、このような統計学的な見方を意識するようにしています。単に「基準値を超えているかどうか」だけでなく、昨年からの変化傾向や複数の値の関連性を考えるようにしています。エンジニア時代にデータ分析に携わった経験が、自分の健康管理にも役立っているようです。主治医からは「矢次さんは自分のデータをよく理解していますね」と言われることもあります。若い頃に学んだ統計学が、高齢期の健康維持に役立つとは思いませんでした。

画像診断とアルゴリズム

MRIやCTスキャンなどの医療画像の分析には、高度な数学的アルゴリズムが使われています。

例えば、CTスキャンでは「逆ラドン変換」と呼ばれる数学的処理によって、断面画像から3D画像を再構成します。また近年、AI技術を活用した画像診断支援システムでは、機械学習アルゴリズムによって腫瘍などの異常を自動検出する技術が発展しています。

私は2年前に腰痛の検査でMRIを受けた際、担当技師から画像処理の仕組みについて少し説明を受ける機会がありました。フーリエ変換という数学的手法が使われていることを知り、「若い頃に学んだ数学が、今、私の体の中を見る技術になっているのか」と感慨深く思いました。数学と医療の融合は、私たち高齢者にとって特に恩恵の大きい分野だと感じます。精密な診断技術の進歩により、早期発見・早期治療が可能になり、多くの命が救われているのですから。

検査の精度と確率

医療検査の信頼性は「感度」と「特異度」という確率論的指標で評価されます。

感度（実際に病気の人を正しく病気と判定する確率）と特異度（実際に健康な人を正しく健康と判定する確率）が高いほど、検査の精度が高いことになります。しかし、両者はトレードオフの関係にあることが多く、完璧な検査は存在しません。

私が特に関心を持っているのは「偽陽性」の問題です。例えば、非常にまれな病気の検査では、たとえ特異度が高くても、実際に陽性と判定された人の多くが実は健康である可能性があります（ベイズの定理によって説明される現象です）。これは「基礎確率の誤謬」と呼ばれる直感に反する現象で、医師ですらこの確率計算を誤ることがあると聞きます。地元のシニア向け健康講座で、この「検査の確率論」について話したところ、「検査で陽性が出たからといって必ずしも病気とは限らないのですね」と多くの方が驚かれました。適切な確率的理解は、不必要な不安を減らすためにも重要だと思います。

第2章：薬の開発と数理モデル

臨床試験の統計学

新薬の有効性を検証する臨床試験は、統計学的手法に基づいて設計・分析されます。

二重盲検法や無作為化比較試験（RCT）などの手法は、バイアスを排除し、薬の真の効果を統計的に検証するための方法です。また、検定の有意水準（通常5%）の設定や、必要なサンプルサイズの計算なども統計学に基づいています。

私は高血圧の薬を服用していますが、その薬が承認される過程でどのような臨床試験が行われたのか調べてみたことがあります。数千人を対象とした大規模試験で、プラセボ（偽薬）と比較して統計的に有意な効果が確認されていることを知り、より安心して服用できるようになりました。医薬品の説明書にある「統計学的に有意な差が認められました」という一文の背後には、膨大なデータと緻密な数学的分析があることを意識すると、現代医療の凄さを実感します。

薬物動態学と微分方程式

薬が体内でどのように吸収され、分布し、代謝され、排出されるかを記述する「薬物動態学」は、微分方程式を用いたモデルに基づいています。

コンパートメントモデルと呼ばれる数学的モデルによって、薬の血中濃度の時間変化や半減期を予測し、最適な投与量や投与間隔を決定します。これにより、効果を最大化しつつ副作用を最小限に抑える投薬計画が可能になります。

かつてエンジニアとして微分方程式を使った仕事をしていた私にとって、体内の薬物濃度が同様の数学で記述できるという事実は非常に興味深いものでした。定年後、薬物動態学の入門書を読んでみたところ、かつて工学で使っていた「時定数」や「指数関数的減衰」といった概念がそのまま応用されていることに驚きました。最近では、自分が服用している薬について、「これは半減期が長いから1日1回の服用で十分なんだな」などと考えることもあります。数学的な視点で薬を見ることで、なぜそのような服用方法が指示されているのかがより理解でき、服薬アドヒアランス（指示通りに薬を飲む遵守率）向上にもつながっていると感じています。

創薬におけるAIと数学

近年の創薬研究では、AIや機械学習などの数理科学技術が活用されています。

膨大な化合物ライブラリから有望な候補を選び出したり、タンパク質の立体構造を予測したりする過程で、高度な数学的アルゴリズムが使われています。これにより、従来よりも効率的に新薬の開発が進められるようになりました。

私が現役時代の終わり頃、製薬会社との共同プロジェクトに関わったことがあります。当時はまだAI創薬という言葉も一般的ではありませんでしたが、数値シミュレーションによる薬効予測の可能性について議論したことを覚えています。それから約15年、この分野は驚くべき速さで発展しました。昨年、地元の大学で開催された公開講座で、AI創薬の最新事例について聞く機会がありましたが、今や数千万の化合物の中から有望なものを短時間で選び出すことが可能になっているそうです。私たち高齢者が恩恵を受ける新薬の多くが、このような数理科学の力で生み出されていることを知ると、数学の実用性を改めて実感します。

第3章：疫学と数学モデル

感染症の数理モデル

感染症の流行を予測する「数理疫学」では、微分方程式を用いたSIRモデルなどが活用されています。

SIRモデルでは、人口を「感受性人口（S）」「感染者（I）」「回復者（R）」に分類し、それぞれの時間変化を連立微分方程式で表現します。これにより、感染症の基本再生産数（R0）や流行のピーク、必要なワクチン接種率などを推定できます。

コロナウイルスのパンデミック時、テレビや新聞で「数理モデルによる予測」という言葉をよく耳にしました。当初は「数学で本当に感染症が予測できるのか」と半信半疑だった私ですが、エンジニアとしての経験から基本的な微分方程式モデルの仕組みを理解できたため、報道の背景にある科学的根拠を把握することができました。近所の方々から「この感染予測は信頼できるのか」といった質問を受けることもあり、「完璧な予測は難しいけれど、行動変容の効果を比較するには有用な指標になる」と説明したものです。緊急時においても冷静に数理モデルの限界と有用性を理解することの重要性を実感しました。

公衆衛生と統計学

生存分析、多変量解析、ロジスティック回帰など、様々な統計学的手法が公衆衛生の研究で活用されています。

例えば、特定の生活習慣とがんリスクの関連を調査するコホート研究では、交絡因子の影響を取り除くために高度な統計解析が必要です。また、集団の健康状態を表す指標である平均寿命や健康寿命の計算にも、生命表という統計学的手法が用いられています。

私が特に関心を持っているのは「健康寿命」の概念です。単に長生きするだけでなく、自立して健康に暮らせる期間をいかに延ばすかは、我々高齢者にとって切実な問題です。地域の健康講座で「健康寿命延伸のための統計的エビデンス」について学んだとき、データに基づいた健康行動の重要性を再認識しました。例えば、「定期的な運動で認知症リスクが〇〇%低下する」といった研究結果は、日々の行動を変えるモチベーションになります。統計学の知識があると、そうした研究結果の信頼性も適切に評価できるので、科学的根拠に基づいた健康管理が可能になります。

医療システムと最適化数学

限られた医療資源（病床、医師、医療機器など）を効率的に配分するために、オペレーションズリサーチなどの最適化数学が応用されています。

例えば、救急車の最適配置問題、病院内の患者スケジューリング、医薬品の在庫管理など、医療システムの効率化には数理最適化の手法が欠かせません。これにより、より多くの患者に適切な医療を提供することが可能になります。

私が住む地域では数年前、高齢化に伴う医療需要の増加に対応するため、地域医療計画の見直しが行われました。その際、「どこに新しい診療所を設置すべきか」という議論があり、住民説明会に参加する機会がありました。そこで示されたのが、人口分布や移動時間などを考慮した最適配置モデルでした。私はかつて工場の設備配置問題に携わった経験があったため、この手法の有効性を理解できました。「数学的に最適」と「住民感情」が必ずしも一致しない場面もありましたが、限られた資源の中で公平性と効率性を両立させるために、数理モデルが重要な判断材料となっていることを実感しました。

第4章：個人の健康管理と数学

運動と数学的アプローチ

効果的な運動計画を立てる上でも、数学的な考え方は役立ちます。

例えば、持久力を高めるためのインターバルトレーニングは、心拍数と回復時間の関係という数学的モデルに基づいています。また、筋力トレーニングにおける「漸進的過負荷」の原則も、強度と回数の最適化という数学的問題と見なせます。

私は退職後、健康維持のためにウォーキングを始めましたが、単に歩くだけでなく、歩数や心拍数、消費カロリーなどのデータを記録し分析することで、より効果的な運動習慣を築くことができました。特に参考になったのは「心拍数予備力」という概念です。最大心拍数と安静時心拍数の差の一定割合（例えば60%）を目標にすることで、年齢に応じた適切な運動強度を計算できます。このような数学的アプローチのおかげで、65歳になった今も無理なく継続できる運動計画を立てることができています。地元のシニア向け健康教室でも、こうした「健康数学」の考え方を共有すると、多くの方が興味を持ってくださいます。

栄養バランスと最適化

バランスの取れた食事計画も、一種の最適化問題として捉えることができます。

必要な栄養素（タンパク質、脂質、炭水化物、ビタミン、ミネラルなど）を過不足なく摂取しながら、カロリー制限を守り、さらには食材コストや調理時間なども考慮するとなると、多目的最適化問題となります。

私は高血圧と軽度の糖尿病があるため、食事管理には特に気を使っています。最初は栄養士の指導を受けていましたが、次第に自分なりの「食事最適化」を考えるようになりました。例えば、「タンパク質を十分に摂りながら、塩分と糖質を抑え、なおかつ食費も考慮する」という条件の中で、週間の食事プランを考えるのは、まさに数理最適化の応用です。エクセルで簡単な計算表を作り、栄養バランスを視覚化することで、より効率的な食事管理ができるようになりました。このような「日常の中の最適化問題」を解くことは、高齢者の脳トレーニングにもなりますし、健康管理の効果も高まると感じています。

健康リスクの確率論

健康リスクを正しく理解するためには、確率論的な考え方が欠かせません。

「この生活習慣病のリスクが〇%上昇する」といった情報を適切に解釈するには、相対リスクと絶対リスクの違いや、リスク要因の相互作用などを理解する必要があります。また、予防的検査の有効性を判断する際にも、感度・特異度、偽陽性率などの確率的概念が重要になります。

私が特に注意しているのは、健康情報における「相対リスク」の扱いです。例えば「ある行動でがんリスクが50%上昇」という見出しを見ると驚きますが、もともとのリスクが1%なら1.5%になるだけかもしれません。これは0.5%の絶対リスク上昇です。メディアはしばしば相対リスクだけを強調しがちですが、確率論の基本を知っていれば、冷静に情報を評価できます。私は地元のシニアクラブで「健康情報の読み解き方」というミニ講座を開いたことがありますが、参加者からは「数字の裏を読む力が身についた」と好評でした。高齢になるほど健康不安は大きくなりがちですが、確率的思考が身につくと、不必要な心配を減らせると感じています。

まとめ：数学的思考で健康寿命を延ばす

数学と健康の関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

- 現代医療は様々な数学的手法（統計学、微分方程式、最適化理論など）によって支えられている

- 個人の健康管理においても、数学的思考（データ分析、最適化、確率的判断など）が役立つ

- 高齢者にとって特に重要な健康寿命の延伸には、科学的エビデンスに基づく数理的アプローチが効果的

私は65歳という年齢になって、改めて「数学と健康」という二つの分野の深い結びつきを感じています。若い頃に学んだ数学が、高齢期の健康維持に役立つとは予想もしませんでしたが、数学的思考は「より長く、より健康に生きる」ための強力なツールとなっているのです。

次回のブログでは、「数学と経済」について書いてみたいと思います。日常の金銭管理から資産運用、年金設計に至るまで、経済生活における数学の役割について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも日常の健康管理に数学的視点を取り入れてみてください。データを記録し、傾向を分析し、最適化を考えることで、より効果的な健康習慣が身につくかもしれません。健康は何よりの宝、そしてその宝を守るために、数学は強力な味方となってくれるのです。

【矢次真也】