矢次真也の数学コラム：数学と美術～視覚表現に潜む数学の美

📊 古代から現代まで、美術作品には黄金比や遠近法など数学的原理が活用されてきた

🧮 フラクタル、対称性、トポロジーなど現代数学の概念は芸術表現に新たな可能性をもたらした

🔍 視覚芸術を数学的視点で鑑賞することで、高齢者の脳活性化と芸術理解が深まる

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「暗号と数学」について書きましたが、今回は「数学と美術」という、感性と論理が交わる魅力的なテーマについて考えてみたいと思います。

先日、孫と地元の美術館に出かけたときのこと。彼は抽象画の前で首をかしげながら「これって何が描いてあるの？」と質問してきました。その絵はモンドリアンの作品で、縦横の直線と原色の長方形だけで構成された幾何学的なものでした。「これは、美しさを数学的に表現しようとした画家の作品なんだよ」と説明すると、彼は不思議そうな顔をしていました。

実は美術と数学は、古代から密接な関係にあります。遠近法、黄金比、対称性、パターン、フラクタル…。これらはすべて、数学的概念でありながら、美術表現の重要な要素でもあるのです。名画の中に数学的秩序を見出すことは、理系の私にとって美術を楽しむ特別な方法の一つになっています。

今回は、この「数学と美術」の深い関係について探っていきましょう。数学的視点から美術を鑑賞することで、作品の新たな側面が見えてくるかもしれません。そして、そのような見方が私たち高齢者の脳の活性化にもつながる可能性についても考えてみたいと思います。

第1章：美術における比率と黄金比

黄金比の不思議と魅力

美術史を通じて最も有名な数学的概念の一つが「黄金比」です。

黄金比（約1:1.618）は古代ギリシャ時代から知られており、特に美しいとされる比率です。数学的には、線分を二つに分割したとき、短い部分と長い部分の比が、長い部分と線分全体の比に等しくなる分割比を指します。

私が若い頃、工学設計の世界では「美しいデザインは機能的である」という考え方がありました。製図の授業でも黄金比に基づくプロポーションが推奨されていたことを覚えています。現在でも、私のホームオフィスの本棚は黄金比を意識して設計したものです。毎日眺めていても飽きない佇まいは、この古代からの美の法則のおかげかもしれません。

ルネサンス美術と比率

ルネサンス期の画家たちは、特に人体の美しさを表現するために数学的比率を重視しました。

レオナルド・ダ・ヴィンチの「ウィトルウィウス的人体図」は、人体のプロポーションに関する研究を示す代表的な作品です。彼はまた「最後の晩餐」などの作品でも、構図に数学的な秩序を取り入れていました。

定年後、私はルネサンス美術についての講座を受講する機会がありました。そこで講師から「ダ・ヴィンチは芸術家であると同時に科学者でもあった」という説明を聞き、大きく頷いたことを覚えています。彼の時代、芸術と科学（数学を含む）は分かちがたく結びついていたのです。この統合的な視点は、現代の専門分化した社会では見失われがちな貴重な姿勢だと思います。

日本美術における比率

東洋、特に日本の美術にも独自の数学的比率が見られます。

例えば、日本の伝統的な掛け軸や屏風、襖絵の寸法には特定の比率が好まれました。また、「畳」を基本単位とした日本建築の空間構成にも、数学的な秩序が反映されています。

私は退職後、近所の和室で茶道を習い始めました。茶室の設計や茶碗の形状、さらには茶事の所作に至るまで、そこには緻密な計算と比率の美が隠されていることを知り、新たな発見がありました。特に「一間半（約2.7m四方）」という茶室の標準サイズは、機能性と美しさを両立させた日本独自の空間数学と言えるでしょう。

第2章：遠近法と幾何学

ルネサンスの一点透視図法

15世紀イタリアで発展した「線遠近法」は、数学と美術の融合の代表例です。

建築家のブルネレスキや理論家のアルベルティによって体系化されたこの技法は、三次元空間を二次元平面に写実的に表現するための数学的方法論でした。消失点に向かって収束する直線によって、平面上に奥行きの錯覚を生み出します。

私が中学生のとき、美術の授業で一点透視図法を使って廊下の絵を描いた記憶があります。当時は「これが数学と関係あるなんて」と思いもしませんでしたが、今思えばそれは座標幾何学の応用だったのです。65歳になった今、同じ課題に取り組んだら、もっと数学的に正確に描けるかもしれません。そんなことを考えると、年を重ねることで見えてくる学問間のつながりの面白さを感じます。

多点透視図法と射影幾何学

より複雑な空間表現のために、二点透視図法や三点透視図法などが発展しました。

これらの技法は、現代の射影幾何学の基礎となる考え方を含んでいます。実際、射影幾何学という数学分野自体が、美術における遠近法の研究から発展したと言われています。

私はエンジニアとして働いていた頃、CAD（コンピュータ支援設計）システムを使用していましたが、その基礎には射影幾何学があります。美術の遠近法が現代の工学技術にまで影響を与えているという事実は、学問の連続性と発展の面白さを物語っています。定年後、私は地元の工業高校で時々技術指導のボランティアをしていますが、生徒たちにはいつも「美術と工学は遠い存在ではない」ということを伝えるようにしています。

エッシャーと「不可能」な幾何学

20世紀のオランダの芸術家M.C.エッシャーは、数学的概念を駆使して「不可能図形」などの錯視芸術を生み出しました。

彼の作品「上昇と下降」「滝」などは、一見すると可能に見える構造が実際には物理的に不可能であるという矛盾を、巧みな遠近法によって表現しています。これらの作品は視覚的なパラドックスであり、私たちの脳が三次元空間をどのように理解しているかを問いかけています。

私が初めてエッシャーの作品集を手に取ったのは、大学生の頃でした。数学専攻ではなかったにもかかわらず、その幾何学的な魅力に取りつかれ、何時間も眺めていたことを覚えています。退職後、改めて彼の作品を研究するようになり、その中に射影幾何学、トポロジー、結晶学など様々な数学的概念が織り込まれていることに気づきました。視覚芸術と数学が、これほど見事に融合した例は他にないでしょう。

第3章：パターンと対称性の数学

イスラム美術の幾何学模様

イスラム美術に見られる複雑な幾何学模様は、高度な数学的知識に基づいています。

人物や動物の描写を避けるイスラム美術では、代わりに幾何学的なパターンが発達しました。特に「ジラー」と呼ばれる幾何学模様は、正多角形と星形を基本単位として無限に広がる複雑なタイリングを形成しています。

私は数年前、トルコを旅行する機会があり、イスタンブールのブルーモスクで見た幾何学タイルの美しさに心を奪われました。その複雑なパターンが、定規とコンパスだけで設計されたと聞いて驚いたものです。現代の私たちならコンピュータを使うところを、中世の職人たちは純粋な数学的知識と技術で、あのような複雑な模様を生み出していたのです。そこには現代の群論や平面充填の理論が先取りされているようにも見えます。

対称性と群論

美術に見られる対称性のパターンは、数学の群論という分野と密接に関連しています。

平面上のパターンは、数学的には「対称群」として分類されます。例えば、ウィリアム・モリスのデザインや世界各地の民族模様は、数学的に17種類の壁紙群のいずれかに分類できることが知られています。

私は退職後、趣味で陶芸を始めましたが、器の模様をデザインする際に、無意識のうちにこの対称性の法則に従っていることに気づきました。「これが美しく見える」と直感的に感じるデザインには、多くの場合、何らかの数学的な秩序が隠れているのです。これは私たちの美的感覚そのものが、ある程度数学的な原理に基づいていることを示唆しているようで興味深いですね。

フラクタルアートとカオス理論

20世紀後半に発展したフラクタル理論とカオス理論は、新しいタイプの美術表現を生み出しました。

自己相似性を持つフラクタル図形（マンデルブロ集合など）は、単純な数式から無限に複雑な形状を生成します。これらは現代のデジタルアートの重要な要素となっています。

私は以前のブログで「カオス理論」について書きましたが、退職後に始めたデジタルアート制作では、フラクタル生成ソフトウェアを使って作品を作ることもあります。単純な反復規則から信じられないほど複雑で美しいパターンが生まれる様子は、まるで自然界の法則を映し出しているようです。海岸線、雲、山脈、樹木の枝分かれ…。自然界に見られるフラクタル構造と、数学から生まれるフラクタルアートの類似性は、芸術と科学の深い結びつきを示しているように思います。

第4章：現代美術と先端数学

抽象芸術と数学的概念

20世紀の抽象芸術運動は、しばしば数学的概念と関連しています。

モンドリアンのネオ・プラスティシズムは直線と原色による幾何学的抽象を追求し、カンディンスキーは点・線・面という幾何学の基本要素を絵画に取り入れました。これらの芸術家たちは、世界を数学的に抽象化する新しい視覚言語を開発したと言えます。

私は若い頃、抽象芸術にあまり関心がありませんでした。「何が描かれているのか分からない」と思っていたのです。しかし年齢を重ね、特に数学への理解が深まるにつれて、抽象芸術の中にある数学的秩序と美しさが見えるようになりました。最近では、地元のアートギャラリーで開かれる現代アート展にも積極的に足を運ぶようになり、作品の中に幾何学的パターンや対称性を見出すのが楽しみになっています。

トポロジーとコンテンポラリーアート

トポロジー（位相幾何学）の概念は、現代美術に新たな表現の可能性をもたらしました。

トポロジーは、図形を連続的に変形しても変わらない性質を研究する数学分野です。メビウスの輪やクラインのつぼのような「奇妙な」形状は、多くの現代彫刻家にインスピレーションを与えています。

私は退職後、折り紙の研究会に参加するようになりました。特に興味を持ったのが「折り紙トポロジー」と呼ばれる分野で、一枚の紙からメビウスの輪などのトポロジカルな形状を作り出す技術です。孫と一緒に折り紙を楽しむときも、時々こうした数学的な折り方を教えることがあります。最初は難しいと感じるようですが、完成したときの驚きと喜びは格別のようです。「おじいちゃん、この紙、表と裏が区別できなくなった！」という彼の驚きの声を聞くのは、私の大きな喜びです。

数学的アルゴリズムとジェネラティブアート

コンピュータ技術の発展により、数学的アルゴリズムを用いた「ジェネラティブアート」という新しい芸術形式が生まれています。

ジェネラティブアートは、アーティストがプログラムした数学的ルールに基づいて、コンピュータが自律的に生成する芸術です。フラクタル、セルオートマトン、L-システムなどの数学的モデルが利用されています。

私はエンジニアとしての経験を活かして、退職後にプログラミングによるアート制作に挑戦しています。Processingというプログラミング言語を使って、数式から視覚的なパターンを生成するスケッチを書くのが最近の趣味です。特に「ルール」と「ランダム性」のバランスが生み出す予測不能な美しさに魅了されています。たった数行のコードから無限に変化する模様が生まれる様子は、自然界の創造過程を小さく再現しているようで不思議な感覚です。

第5章：高齢者の視点から見る数学と美術の融合

脳の活性化と認知機能の維持

数学的視点から美術を鑑賞することは、高齢者の認知機能維持に良い効果をもたらす可能性があります。

美術作品の中の数学的構造を探すという行為は、視覚認知、パターン認識、論理的思考などの脳機能を活性化します。これは単なる美術鑑賞よりも脳に多角的な刺激を与えると考えられています。

私は地元のシニアクラブで「数学で見る美術」という小さな講座を始めました。参加者の皆さんと一緒に有名な絵画の中に隠れた黄金比や対称性を探したり、簡単なフラクタル図形を描いたりする活動です。「美術は苦手」と言っていた元技術者の方も、「数学」という切り口から入ることで積極的に参加されるようになりました。こうした活動が認知症予防にも役立つのではないかと期待しています。

新しい創造の喜びと自己表現

年齢を重ねるほど、数学と美術の融合点から生まれる創造的活動は、新たな自己表現の場となります。

定年後は時間的な余裕ができますが、その時間を創造的に過ごすことが心身の健康に大切です。数学的原理に基づいた創作活動は、論理的思考と感性の両方を刺激する理想的な趣味となります。

私自身、65歳になって初めて幾何学的なパターンを用いた抽象画を描き始めました。若い頃は「絵は苦手」と思っていましたが、数学的な構造を基礎にすることで、意外にも自分なりの表現ができることに気づいたのです。最近では地元のシニア作品展にも出品し、同世代の方々と新しい創造の喜びを共有しています。年齢に関係なく、「新しいことを始める」喜びは大きいですね。

世代を超えた対話と知識の伝承

数学と美術の接点は、世代間の対話を促進するテーマともなります。

若い世代はデジタルネイティブとして新しい技術に親しんでいますが、その基礎にある数学的概念は普遍的です。私たち高齢者の経験と若い世代の感性が交わることで、新たな創造の可能性が広がります。

私は定期的に孫と一緒に美術館を訪れるようにしています。「この絵の中に隠れた幾何学模様を探してみよう」「この彫刻のかたちは数学的にどんな特徴があるかな？」といった「ゲーム」を通じて、美術鑑賞を楽しんでいます。孫は数学的視点で美術を見ることに興味を示し、私は彼の新鮮な発見から学ぶことが多くあります。このような世代を超えた対話は、知識の伝承にとどまらず、互いの世界を広げる貴重な機会になっていると感じています。

まとめ：数学と美術が織りなす豊かな世界

数学と美術の関係を探ることで、私たちは多くのことを学ぶことができます：

- 黄金比や遠近法など、美術の歴史は数学的概念の応用の歴史でもある

- パターン、対称性、フラクタルといった数学的構造は、様々な文化の美術表現に共通して見られる

- 現代美術とデジタルアートは、トポロジーや複雑系科学など最先端の数学と融合している

- 数学的視点から美術を鑑賞・創作することは、高齢者の認知機能維持と創造的自己表現に役立つ

私は65歳という年齢になって、改めて「数学と美術」という二つの分野の深い結びつきを感じています。若い頃は「理系」と「文系」を別々のものとして捉えがちでしたが、人生経験を重ねるにつれ、学問分野の境界線は次第に薄れ、むしろその交差点にこそ新たな発見や創造の喜びがあることに気づきました。

次回のブログでは、「数学と建築」について書いてみたいと思います。私たちの住まいや都市空間に隠された数学的原理について探ってみましょう。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました。皆さんも身の回りの美術作品や日常の視覚的風景の中に、数学的な美しさを探してみてはいかがでしょうか。新たな視点で世界を見ることは、年齢を問わず私たちの心を豊かにしてくれるはずです。

【矢次真也】