矢次真也の数学コラム：数学とゲーム～遊びの中に潜む数理の深さ

📊 チェスや囲碁からビデオゲームまで、様々なゲームの背後には深い数学的原理がある

🧮 ゲーム理論、確率論、組合せ論などの数学分野はゲームの分析と戦略開発に直結している

🔍 数学的なゲームは高齢者の認知機能維持に効果的で、脳トレとしても最適な娯楽である

はじめに

こんにちは、矢次真也です。65歳で定年退職後、数学の面白さを伝えるブログを続けています。前回は「数学と建築」について書きましたが、今回は「数学とゲーム」という、娯楽と思考が交わる興味深いテーマについて考えてみたいと思います。

先日、孫と将棋で対戦した時のこと。彼は最近学校の将棋クラブに入ったばかりで、駒の動かし方を教えながら簡単な対局をしていました。ふと「おじいちゃん、将棋って数学と関係あるの？」と質問されて、「実はゲームと数学は切っても切れない関係なんだよ」と答えたところ、彼は不思議そうな顔をしていました。

実際、チェス、将棋、囲碁などの古典的なボードゲームから、現代のビデオゲームに至るまで、ほとんどすべてのゲームは数学的な基盤の上に成り立っています。戦略の立案、確率の計算、パターン認識など、ゲームでの勝利に必要なスキルの多くは、本質的に数学的な思考なのです。

今回は、この「数学とゲーム」の深い関係について探っていきましょう。遊びの中に潜む数理の深さを知ることで、ゲームをより楽しむヒントが見つかるかもしれません。また、高齢者の認知機能維持におけるゲームの効果についても考えてみたいと思います。

第1章：古典的ボードゲームと数学

チェスと組合せ爆発

チェスは「考えるゲーム」の代表格ですが、その複雑さは数学的に説明できます。

チェスの可能な局面数は約10の120乗と言われています。これは宇宙の原子の数（約10の80乗）よりも遥かに多い数です。このような「組合せ爆発」と呼ばれる現象は、単純なルールから信じられないほど複雑な状況が生まれる好例です。

私は大学時代にチェスクラブに所属していましたが、当時はこの「組合せ爆発」という概念を知りませんでした。今思えば、チェスの対局中に感じていた「考え尽くせない」という感覚は、まさにこの数学的事実を直感的に捉えていたのかもしれません。最近は孫にもチェスを教えていますが、「この小さな盤面で、宇宙の原子より多い場合の数があるんだよ」と説明すると、彼の目が驚きで丸くなります。

囲碁・将棋とゲーム木探索

囲碁や将棋などの東洋の古典的ゲームも、深い数学的性質を持っています。

特に「ゲーム木探索」と呼ばれるアルゴリズムは、これらのゲームでのコンピュータプログラムの戦略決定に重要です。最善手を見つけるための「ミニマックス法」や「アルファベータ法」などは、グラフ理論に基づく数学的アルゴリズムです。

私は定年退職してから地元の将棋クラブに入り、週に一度対局を楽しんでいます。そこには80代の強豪もいて、彼の読みの深さには毎回感心させられます。彼は「将棋は数学と同じで、論理的に考えれば最善手が見えてくる」とよく言います。AIが人間のトッププロに勝利するようになった今でも、この老棋士の瞬時の大局観と直感的な手の選択には目を見張るものがあります。論理と直感が交わる点に、ゲームの奥深さがあるのでしょう。

ナンプレと制約充足問題

数独（ナンプレ）のような数字パズルも、数学的に「制約充足問題」として定式化できます。

各マスに1から9までの数字を入れる際の様々な制約条件を満たすソリューションを見つける過程は、グラフ彩色問題などの数学的問題と同等です。難しいナンプレを解くときの「バックトラック法」は、数学的アルゴリズムの一つです。

私は毎朝の日課として新聞のナンプレに挑戦していますが、これが脳のウォーミングアップとして絶好の運動になっています。時々、特に難しい問題に出会うと、「もし、この9×9のマスが100×100だったら…」などと考えることがあります。実はそのような「スケーラビリティ」の問題も、計算量理論という数学分野の研究対象なのです。退職した今、数学パズルを解く時間が増えましたが、それは単なる暇つぶしではなく、認知機能を維持するための意識的な取り組みでもあります。

第2章：確率ゲームと数学的期待値

ポーカーと確率計算

カードゲームのポーカーは、確率論の実践的な応用例です。

役の強さとその出現確率の関係、相手の手札を推測する統計的推論、ベットのサイズと期待値の計算など、ポーカーでの意思決定には数学的思考が不可欠です。

私は若い頃、友人たちと少額の賭けをしながらポーカーをよくプレイしていました。当時は感覚的にプレイしていましたが、後に確率論を学んだことで、自分の直感的な判断の多くが数学的に説明できることに気づきました。例えば「フラッシュを完成させるために1枚引く確率は約19%」といった知識は、ベットするかフォールドするかの判断に直結します。このように数学が実践的な意思決定に役立つことを実感できるのも、ゲームの面白さの一つですね。

ボードゲームとサイコロの確率

すごろくやモノポリーなどのサイコロを使ったボードゲームも、確率論と期待値の考え方で分析できます。

例えば、2つのサイコロの出目の合計は、7が最も出やすく（確率1/6）、2や12が最も出にくい（確率1/36）という性質があります。この確率分布を理解することは、戦略的プレイにつながります。

最近、私は孫と「カタン」という現代ボードゲームをプレイするようになりました。このゲームではサイコロの出目によって資源が得られるのですが、「どの数字に賭けるか」という選択が重要になります。孫に確率の基本を教えながらプレイすると、彼も次第に「7の出る確率が最も高いから、7の土地の近くに家を建てよう」などと考えるようになりました。遊びの中で自然と数学的思考が身につくのは素晴らしいことです。

ルーレットとギャンブルの数学

カジノゲームのルーレットは、「期待値」という数学的概念を理解するのに最適な例です。

ヨーロピアンルーレットでは、どのような賭け方をしても長期的には約2.7%の不利があります。これは「ハウスエッジ」と呼ばれ、数学的期待値で説明される概念です。

私は若い頃、海外旅行でカジノを訪れたことがありますが、そこで目の当たりにしたのは「大数の法則」の実演でした。短期的には運によって勝つこともありますが、長時間プレイすれば確実に期待値通りの結果に収束していくのです。これは「賭け方を工夫しても、数学的に不利なゲームで長期的に勝つことは不可能」という事実を示しています。この経験は、投資や保険など、人生の様々な「リスクと確率」に関わる意思決定においても役立っています。

第3章：ビデオゲームと現代数学

3Dグラフィックスと線形代数

現代のビデオゲームで当たり前となった3Dグラフィックスは、線形代数という数学分野に深く依存しています。

キャラクターの動き、カメラの視点変更、光の反射など、3D空間での様々な操作は行列計算によって実現されています。この技術がなければ、現代の臨場感あふれるゲーム体験は不可能でした。

私はエンジニアとして働いていた頃、コンピュータグラフィックスの基礎技術に携わることがありました。当時、大学で学んだ線形代数が実用技術の最前線で活用されていることに驚きと喜びを感じたものです。最近では、孫のプレイするゲームの美しいグラフィックスを見ながら「この映像の裏では、膨大な数の行列計算が毎秒行われているんだよ」と説明すると、彼は「おじいちゃんの学んだ数学がゲームに使われているなんてすごい！」と目を輝かせます。世代を超えて技術の進歩を共有できるのは嬉しいことです。

AI対戦と機械学習

現代のゲームAIは、機械学習という数学的手法に支えられています。

ディープラーニングなどの技術によって、AIはプレイヤーの行動パターンを学習し、適応的な戦略を生み出せるようになりました。これらの技術の根底には、統計学や確率論などの数学があります。

私が特に関心を持ったのは、2016年に囲碁のトップ棋士を破ったAlphaGoの活躍でした。囲碁は可能な局面数が10の360乗以上という途方もない複雑さを持つゲームです。それを解く鍵となったのが「モンテカルロ木探索」という確率的アルゴリズムと深層学習の組み合わせでした。退職後、私はAIと機械学習についての入門講座を受講しましたが、そこで学んだ数学的基礎は、かつて私が学んだ古典的な統計学や線形代数の自然な拡張だったのです。技術は進化しても、その根底にある数学的原理は普遍的であることに、ある種の安心感を覚えました。

第4章：高齢者の脳トレとしてのゲーム

認知機能維持と数学的ゲーム

数学的要素を含むゲームは、高齢者の認知機能維持に効果的であることが研究で示されています。

論理パズル、戦略ゲーム、数字パズルなどは、注意力、記憶力、計画能力、論理的思考力など、様々な認知機能を活性化します。これらは加齢とともに低下しがちな能力ですが、定期的な「頭の体操」で維持・向上させることができます。

私は退職後、地元のシニアクラブで「脳トレゲーム会」を始めました。最初は参加者も少なかったのですが、今では週に一度、10人ほどが集まって様々なパズルやボードゲームを楽しんでいます。「最近、物忘れが減った気がする」「日常の計算が速くなった」など、参加者からは前向きな感想が聞かれます。ゲームは娯楽であると同時に、脳の健康維持という実用的な目的も果たしているのです。

【矢次真也】